حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (t) = \frac{7 \ln (t)}{t}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{7 \ln (t)}{t}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $7 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{t}]$ .

$7 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{t}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ هو $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ حيث $f (t) = \ln (t)$ و $g (t) = t$ .

$7 \frac{t \frac{d}{d t} [\ln (t)] - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

خطوة 1.3

مشتق $\ln (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\frac{1}{t}$ .

$7 \frac{t \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اجمع $t$ و $\frac{1}{t}$ .

$7 \frac{\frac{t}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$7 \frac{\frac{t}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

خطوة 1.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$7 \frac{1 - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

خطوة 1.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$7 \frac{1 - \ln (t) \cdot 1}{t^{2}}$

خطوة 1.4.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$7 \frac{1 - \ln (t)}{t^{2}}$

خطوة 1.4.4.2

اجمع $7$ و $\frac{1 - \ln (t)}{t^{2}}$ .

$\frac{7 (1 - \ln (t))}{t^{2}}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{7 \cdot 1 + 7 (- \ln (t))}{t^{2}}$

خطوة 1.5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

اضرب $7$ في $1$ .

$\frac{7 + 7 (- \ln (t))}{t^{2}}$

خطوة 1.5.2.2

اضرب $7 (- \ln (t))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1

اضرب $- 1$ في $7$ .

$\frac{7 - 7 \ln (t)}{t^{2}}$

خطوة 1.5.2.2.2

بسّط $- 7 \ln (t)$ بنقل $7$ داخل اللوغاريتم.

$f' (t) = \frac{7 - \ln (t^{7})}{t^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [7 - \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اضرب الأُسس في ${(t^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [7 - \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{2 \cdot 2}}$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [7 - \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 - \ln (t^{7})$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]$ .

$\frac{t^{2} (\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

خطوة 2.2.3

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{t^{2} (0 + \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

خطوة 2.2.4

أضف $0$ و $\frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

خطوة 2.2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- \ln (t^{7})$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [\ln (t^{7})]$ .

$\frac{t^{2} (- \frac{d}{d t} [\ln (t^{7})]) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \ln (t)$ و $g (t) = t^{7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $t^{7}$ .

$\frac{t^{2} (- (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t^{7}])) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

خطوة 2.3.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{t^{2} (- (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t^{7}])) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $t^{7}$ .

$\frac{t^{2} (- (\frac{1}{t^{7}} \frac{d}{d t} [t^{7}])) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اجمع $t^{2}$ و $\frac{1}{t^{7}}$ .

$\frac{- \frac{t^{2}}{t^{7}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

خطوة 2.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $t^{2}$ و $t^{7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اضرب في $1$ .

$\frac{- \frac{t^{2} \cdot 1}{t^{7}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

خطوة 2.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

أخرِج العامل $t^{2}$ من $t^{7}$ .

$\frac{- \frac{t^{2} \cdot 1}{t^{2} t^{5}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

خطوة 2.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- \frac{t^{2} \cdot 1}{t^{2} t^{5}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

خطوة 2.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- \frac{1}{t^{5}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

خطوة 2.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 7$ .

$\frac{- \frac{1}{t^{5}} (7 t^{6}) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

خطوة 2.4.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.1

اضرب $7$ في $- 1$ .

$\frac{- 7 \frac{1}{t^{5}} t^{6} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

خطوة 2.4.4.2

اجمع $- 7$ و $\frac{1}{t^{5}}$ .

$\frac{\frac{- 7}{t^{5}} t^{6} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

خطوة 2.4.4.3

اجمع $\frac{- 7}{t^{5}}$ و $t^{6}$ .

$\frac{\frac{- 7 t^{6}}{t^{5}} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

خطوة 2.4.4.4

احذِف العامل المشترك لـ $t^{6}$ و $t^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.4.1

أخرِج العامل $t^{5}$ من $- 7 t^{6}$ .

$\frac{\frac{t^{5} (- 7 t)}{t^{5}} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

خطوة 2.4.4.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.4.2.1

اضرب في $1$ .

$\frac{\frac{t^{5} (- 7 t)}{t^{5} \cdot 1} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

خطوة 2.4.4.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{t^{5} (- 7 t)}{t^{5} \cdot 1} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

خطوة 2.4.4.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{- 7 t}{1} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

خطوة 2.4.4.4.2.4

اقسِم $- 7 t$ على $1$ .

$\frac{- 7 t - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

خطوة 2.4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{- 7 t - (7 - \ln (t^{7})) (2 t)}{t^{4}}$

خطوة 2.4.6

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.6.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- 7 t - 2 (7 - \ln (t^{7})) t}{t^{4}}$

خطوة 2.4.6.2

أخرِج العامل $t$ من $- 7 t - 2 (7 - \ln (t^{7})) t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.6.2.1

أخرِج العامل $t$ من $- 7 t$ .

$\frac{t \cdot - 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})) t}{t^{4}}$

خطوة 2.4.6.2.2

أخرِج العامل $t$ من $- 2 (7 - \ln (t^{7})) t$ .

$\frac{t \cdot - 7 + t (- 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t^{4}}$

خطوة 2.4.6.2.3

أخرِج العامل $t$ من $t \cdot - 7 + t (- 2 (7 - \ln (t^{7})))$ .

$\frac{t (- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t^{4}}$

خطوة 2.5

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أخرِج العامل $t$ من $t^{4}$ .

$\frac{t (- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t \cdot t^{3}}$

خطوة 2.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{t (- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t \cdot t^{3}}$

خطوة 2.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7}))}{t^{3}}$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 7 - 2 \cdot 7 - 2 (- \ln (t^{7}))}{t^{3}}$

خطوة 2.6.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1.1

اضرب $- 2$ في $7$ .

$\frac{- 7 - 14 - 2 (- \ln (t^{7}))}{t^{3}}$

خطوة 2.6.2.1.2

اضرب $- 2 (- \ln (t^{7}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\frac{- 7 - 14 + 2 \ln (t^{7})}{t^{3}}$

خطوة 2.6.2.1.2.2

بسّط $2 \ln (t^{7})$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{- 7 - 14 + \ln ({(t^{7})}^{2})}{t^{3}}$

خطوة 2.6.2.1.3

اضرب الأُسس في ${(t^{7})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 7 - 14 + \ln (t^{7 \cdot 2})}{t^{3}}$

خطوة 2.6.2.1.3.2

اضرب $7$ في $2$ .

$\frac{- 7 - 14 + \ln (t^{14})}{t^{3}}$

خطوة 2.6.2.2

اطرح $14$ من $- 7$ .

$\frac{- 21 + \ln (t^{14})}{t^{3}}$

خطوة 2.6.3

أعِد كتابة $- 21$ بالصيغة $- 1 (21)$ .

$\frac{- 1 (21) + \ln (t^{14})}{t^{3}}$

خطوة 2.6.4

أخرِج العامل $- 1$ من $\ln (t^{14})$ .

$\frac{- 1 (21) - 1 (- \ln (t^{14}))}{t^{3}}$

خطوة 2.6.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (21) - 1 (- \ln (t^{14}))$ .

$\frac{- 1 (21 - \ln (t^{14}))}{t^{3}}$

خطوة 2.6.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (t) = - \frac{21 - \ln (t^{14})}{t^{3}}$

خطوة 3

المشتق الثاني لـ $f (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $- \frac{21 - \ln (t^{14})}{t^{3}}$ .

$- \frac{21 - \ln (t^{14})}{t^{3}}$