حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt{2 x - 9}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 x - 9}$ في صورة ${(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 2 x - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x - 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x - 9$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

خطوة 1.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

خطوة 1.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

خطوة 1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(2 x - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

خطوة 1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

خطوة 1.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

خطوة 1.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(2 x - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

خطوة 1.7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(2 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

خطوة 1.7.3

انقُل ${(2 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

خطوة 1.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

خطوة 1.9

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

خطوة 1.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

خطوة 1.11

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 9])$

خطوة 1.12

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0)$

خطوة 1.13

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.13.1

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$

خطوة 1.13.2

اجمع $\frac{1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ و $2$ .

$\frac{2}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.13.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.13.4

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = \frac{1}{{(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة ${({(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

خطوة 2.1.2

اضرب الأُسس في ${({(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

خطوة 2.1.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{\frac{- 1}{2}}]$

خطوة 2.1.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ و $g (x) = 2 x - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x - 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x - 9$ .

$- \frac{1}{2} {(2 x - 9)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

خطوة 2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(2 x - 9)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

خطوة 2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(2 x - 9)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

خطوة 2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{1}{2} {(2 x - 9)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

خطوة 2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- \frac{1}{2} {(2 x - 9)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

خطوة 2.6.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(2 x - 9)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

خطوة 2.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{2} {(2 x - 9)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

خطوة 2.7.2

اجمع ${(2 x - 9)}^{- \frac{3}{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(2 x - 9)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

خطوة 2.7.3

انقُل ${(2 x - 9)}^{- \frac{3}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

خطوة 2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$- \frac{1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

خطوة 2.9

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

خطوة 2.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

خطوة 2.11

اضرب $2$ في $1$ .

$- \frac{1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 9])$

خطوة 2.12

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}}} (2 + 0)$

خطوة 2.13

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.1

أضف $2$ و $0$ .

$- \frac{1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 2$

خطوة 2.13.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.13.3

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.13.4

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.14

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.14.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 ({(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}})}$

خطوة 2.14.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.14.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{{(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.15

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{1}{{(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{{(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{{(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$