حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = θ^{2} (4 θ + 6)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ هو $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ حيث $f (θ) = θ^{2}$ و $g (θ) = 4 θ + 6$ .

$θ^{2} \frac{d}{d θ} [4 θ + 6] + (4 θ + 6) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 θ + 6$ بالنسبة إلى $θ$ هو $\frac{d}{d θ} [4 θ] + \frac{d}{d θ} [6]$ .

$θ^{2} (\frac{d}{d θ} [4 θ] + \frac{d}{d θ} [6]) + (4 θ + 6) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

خطوة 1.2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، إذن مشتق $4 θ$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $4 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$θ^{2} (4 \frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [6]) + (4 θ + 6) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ هو $n θ^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$θ^{2} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d θ} [6]) + (4 θ + 6) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

خطوة 1.2.4

اضرب $4$ في $1$ .

$θ^{2} (4 + \frac{d}{d θ} [6]) + (4 θ + 6) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

خطوة 1.2.5

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $θ$ هو $0$ .

$θ^{2} (4 + 0) + (4 θ + 6) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

خطوة 1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

أضف $4$ و $0$ .

$θ^{2} \cdot 4 + (4 θ + 6) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

خطوة 1.2.6.2

انقُل $4$ إلى يسار $θ^{2}$ .

$4 \cdot θ^{2} + (4 θ + 6) \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

خطوة 1.2.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ هو $n θ^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 θ^{2} + (4 θ + 6) (2 θ)$

خطوة 1.2.8

انقُل $2$ إلى يسار $4 θ + 6$ .

$4 θ^{2} + 2 \cdot (4 θ + 6) θ$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 θ^{2} + (2 (4 θ) + 2 \cdot 6) θ$

خطوة 1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$4 θ^{2} + 2 (4 θ) θ + 2 \cdot 6 θ$

خطوة 1.3.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

اضرب $4$ في $2$ .

$4 θ^{2} + 8 θ \cdot θ + 2 \cdot 6 θ$

خطوة 1.3.3.2

ارفع $θ$ إلى القوة $1$ .

$4 θ^{2} + 8 (θ^{1} θ) + 2 \cdot 6 θ$

خطوة 1.3.3.3

ارفع $θ$ إلى القوة $1$ .

$4 θ^{2} + 8 (θ^{1} θ^{1}) + 2 \cdot 6 θ$

خطوة 1.3.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 θ^{2} + 8 θ^{1 + 1} + 2 \cdot 6 θ$

خطوة 1.3.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$4 θ^{2} + 8 θ^{2} + 2 \cdot 6 θ$

خطوة 1.3.3.6

اضرب $2$ في $6$ .

$4 θ^{2} + 8 θ^{2} + 12 θ$

خطوة 1.3.3.7

أضف $4 θ^{2}$ و $8 θ^{2}$ .

$f' (θ) = 12 θ^{2} + 12 θ$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $12 θ^{2} + 12 θ$ بالنسبة إلى $θ$ هو $\frac{d}{d θ} [12 θ^{2}] + \frac{d}{d θ} [12 θ]$ .

$\frac{d}{d θ} [12 θ^{2}] + \frac{d}{d θ} [12 θ]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d θ} [12 θ^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، إذن مشتق $12 θ^{2}$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $12 \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d θ} [θ^{2}] + \frac{d}{d θ} [12 θ]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ هو $n θ^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$12 (2 θ) + \frac{d}{d θ} [12 θ]$

خطوة 2.2.3

اضرب $2$ في $12$ .

$24 θ + \frac{d}{d θ} [12 θ]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d θ} [12 θ]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، إذن مشتق $12 θ$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $12 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$24 θ + 12 \frac{d}{d θ} [θ]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ هو $n θ^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$24 θ + 12 \cdot 1$

خطوة 2.3.3

اضرب $12$ في $1$ .

$f'' (θ) = 24 θ + 12$