حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{\ln (2 x)}{x^{6}}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \ln (2 x)$ و $g (x) = x^{6}$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{{(x^{6})}^{2}}$

خطوة 1.2

اضرب الأُسس في ${(x^{6})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{6 \cdot 2}}$

خطوة 1.2.2

اضرب $6$ في $2$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{x^{6} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

خطوة 1.3.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{x^{6} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

خطوة 1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$\frac{x^{6} (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اجمع $\frac{1}{2 x}$ و $x^{6}$ .

$\frac{\frac{x^{6}}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

خطوة 1.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{6}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{6}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{5}}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

خطوة 1.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 2} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

خطوة 1.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 2} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

خطوة 1.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{x^{5}}{2} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

خطوة 1.4.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\frac{x^{5}}{2} (2 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

خطوة 1.4.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.1

اجمع $2$ و $\frac{x^{5}}{2}$ .

$\frac{\frac{2 x^{5}}{2} \frac{d}{d x} [x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

خطوة 1.4.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{2 x^{5}}{2} \frac{d}{d x} [x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

خطوة 1.4.4.2.2

اقسِم $x^{5}$ على $1$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

خطوة 1.4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x^{5} \cdot 1 - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

خطوة 1.4.6

اضرب $x^{5}$ في $1$ .

$\frac{x^{5} - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

خطوة 1.4.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 6$ .

$\frac{x^{5} - \ln (2 x) (6 x^{5})}{x^{12}}$

خطوة 1.4.8

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.8.1

اضرب $6$ في $- 1$ .

$\frac{x^{5} - 6 \ln (2 x) x^{5}}{x^{12}}$

خطوة 1.4.8.2

أخرِج العامل $x^{5}$ من $x^{5} - 6 \ln (2 x) x^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.8.2.1

اضرب في $1$ .

$\frac{x^{5} \cdot 1 - 6 \ln (2 x) x^{5}}{x^{12}}$

خطوة 1.4.8.2.2

أخرِج العامل $x^{5}$ من $- 6 \ln (2 x) x^{5}$ .

$\frac{x^{5} \cdot 1 + x^{5} (- 6 \ln (2 x))}{x^{12}}$

خطوة 1.4.8.2.3

أخرِج العامل $x^{5}$ من $x^{5} \cdot 1 + x^{5} (- 6 \ln (2 x))$ .

$\frac{x^{5} (1 - 6 \ln (2 x))}{x^{12}}$

خطوة 1.5

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أخرِج العامل $x^{5}$ من $x^{12}$ .

$\frac{x^{5} (1 - 6 \ln (2 x))}{x^{5} x^{7}}$

خطوة 1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{5} (1 - 6 \ln (2 x))}{x^{5} x^{7}}$

خطوة 1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 - 6 \ln (2 x)}{x^{7}}$

خطوة 1.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

بسّط $- 6 \ln (2 x)$ بنقل $6$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{1 - \ln ({(2 x)}^{6})}{x^{7}}$

خطوة 1.6.2

طبّق قاعدة الضرب على $2 x$ .

$\frac{1 - \ln (2^{6} x^{6})}{x^{7}}$

خطوة 1.6.3

ارفع $2$ إلى القوة $6$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (64 x^{6})}{x^{7}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [1 - \ln (64 x^{6})] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{{(x^{7})}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اضرب الأُسس في ${(x^{7})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [1 - \ln (64 x^{6})] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{7 \cdot 2}}$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $7$ في $2$ .

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [1 - \ln (64 x^{6})] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - \ln (64 x^{6})$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})]$ .

$\frac{x^{7} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})]) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

خطوة 2.2.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x^{7} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})]) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

خطوة 2.2.4

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})]$ .

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

خطوة 2.2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \ln (64 x^{6})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\ln (64 x^{6})]$ .

$\frac{x^{7} (- \frac{d}{d x} [\ln (64 x^{6})]) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 64 x^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $64 x^{6}$ .

$\frac{x^{7} (- (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [64 x^{6}])) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

خطوة 2.3.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{x^{7} (- (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [64 x^{6}])) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $64 x^{6}$ .

$\frac{x^{7} (- (\frac{1}{64 x^{6}} \frac{d}{d x} [64 x^{6}])) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اجمع $x^{7}$ و $\frac{1}{64 x^{6}}$ .

$\frac{- \frac{x^{7}}{64 x^{6}} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

خطوة 2.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{7}$ و $x^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

أخرِج العامل $x^{6}$ من $x^{7}$ .

$\frac{- \frac{x^{6} x}{64 x^{6}} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

خطوة 2.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

أخرِج العامل $x^{6}$ من $64 x^{6}$ .

$\frac{- \frac{x^{6} x}{x^{6} \cdot 64} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

خطوة 2.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- \frac{x^{6} x}{x^{6} \cdot 64} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

خطوة 2.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- \frac{x}{64} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

خطوة 2.4.3

بما أن $64$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $64 x^{6}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $64 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{- \frac{x}{64} (64 \frac{d}{d x} [x^{6}]) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

خطوة 2.4.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.1

اضرب $64$ في $- 1$ .

$\frac{- 64 \frac{x}{64} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

خطوة 2.4.4.2

اجمع $- 64$ و $\frac{x}{64}$ .

$\frac{\frac{- 64 x}{64} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

خطوة 2.4.4.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 64$ و $64$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.3.1

أخرِج العامل $64$ من $- 64 x$ .

$\frac{\frac{64 (- x)}{64} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

خطوة 2.4.4.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.3.2.1

أخرِج العامل $64$ من $64$ .

$\frac{\frac{64 (- x)}{64 (1)} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

خطوة 2.4.4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{64 (- x)}{64 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

خطوة 2.4.4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{- x}{1} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

خطوة 2.4.4.3.2.4

اقسِم $- x$ على $1$ .

$\frac{- x \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

خطوة 2.4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 6$ .

$\frac{- x (6 x^{5}) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

خطوة 2.4.6

اضرب $6$ في $- 1$ .

$\frac{- 6 x \cdot x^{5} - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

خطوة 2.5

اضرب $x$ في $x^{5}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

انقُل $x^{5}$ .

$\frac{- 6 (x^{5} x) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

خطوة 2.5.2

اضرب $x^{5}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 6 (x^{5} x^{1}) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

خطوة 2.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 6 x^{5 + 1} - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

خطوة 2.5.3

أضف $5$ و $1$ .

$\frac{- 6 x^{6} - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 7$ .

$\frac{- 6 x^{6} - (1 - \ln (64 x^{6})) (7 x^{6})}{x^{14}}$

خطوة 2.7

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

اضرب $7$ في $- 1$ .

$\frac{- 6 x^{6} - 7 (1 - \ln (64 x^{6})) x^{6}}{x^{14}}$

خطوة 2.7.2

أخرِج العامل $x^{6}$ من $- 6 x^{6} - 7 (1 - \ln (64 x^{6})) x^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1

أخرِج العامل $x^{6}$ من $- 6 x^{6}$ .

$\frac{x^{6} \cdot - 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6})) x^{6}}{x^{14}}$

خطوة 2.7.2.2

أخرِج العامل $x^{6}$ من $- 7 (1 - \ln (64 x^{6})) x^{6}$ .

$\frac{x^{6} \cdot - 6 + x^{6} (- 7 (1 - \ln (64 x^{6})))}{x^{14}}$

خطوة 2.7.2.3

أخرِج العامل $x^{6}$ من $x^{6} \cdot - 6 + x^{6} (- 7 (1 - \ln (64 x^{6})))$ .

$\frac{x^{6} (- 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6})))}{x^{14}}$

خطوة 2.8

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

أخرِج العامل $x^{6}$ من $x^{14}$ .

$\frac{x^{6} (- 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6})))}{x^{6} x^{8}}$

خطوة 2.8.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{6} (- 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6})))}{x^{6} x^{8}}$

خطوة 2.8.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6}))}{x^{8}}$

خطوة 2.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 6 - 7 \cdot 1 - 7 (- \ln (64 x^{6}))}{x^{8}}$

خطوة 2.9.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.2.1.1

اضرب $- 7$ في $1$ .

$\frac{- 6 - 7 - 7 (- \ln (64 x^{6}))}{x^{8}}$

خطوة 2.9.2.1.2

اضرب $- 7 (- \ln (64 x^{6}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.2.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 7$ .

$\frac{- 6 - 7 + 7 \ln (64 x^{6})}{x^{8}}$

خطوة 2.9.2.1.2.2

بسّط $7 \ln (64 x^{6})$ بنقل $7$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{- 6 - 7 + \ln ({(64 x^{6})}^{7})}{x^{8}}$

خطوة 2.9.2.1.3

طبّق قاعدة الضرب على $64 x^{6}$ .

$\frac{- 6 - 7 + \ln (64^{7} {(x^{6})}^{7})}{x^{8}}$

خطوة 2.9.2.1.4

ارفع $64$ إلى القوة $7$ .

$\frac{- 6 - 7 + \ln (4398046511104 {(x^{6})}^{7})}{x^{8}}$

خطوة 2.9.2.1.5

اضرب الأُسس في ${(x^{6})}^{7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.2.1.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 6 - 7 + \ln (4398046511104 x^{6 \cdot 7})}{x^{8}}$

خطوة 2.9.2.1.5.2

اضرب $6$ في $7$ .

$\frac{- 6 - 7 + \ln (4398046511104 x^{42})}{x^{8}}$

خطوة 2.9.2.2

اطرح $7$ من $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{- 13 + \ln (4398046511104 x^{42})}{x^{8}}$