حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{\frac{5}{2}} e^{x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ و $g (x) = e^{x}$ .

$x^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{5}{2}$ .

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

خطوة 1.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 1.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 1.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

خطوة 1.7.2

اطرح $2$ من $5$ .

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

خطوة 1.8

اجمع $\frac{5}{2}$ و $x^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + e^{x} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

خطوة 1.9

اجمع $e^{x}$ و $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

خطوة 1.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.10.1

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{x} x^{\frac{5}{2}} + \frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

خطوة 1.10.2

انقُل $5$ إلى يسار $e^{x}$ .

$f' (x) = e^{x} x^{\frac{5}{2}} + \frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} x^{\frac{5}{2}} + \frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{5}{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x^{\frac{5}{2}}$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + x^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{5}{2}$ .

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + x^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

خطوة 2.2.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

خطوة 2.2.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

خطوة 2.2.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

خطوة 2.2.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

خطوة 2.2.7.2

اطرح $2$ من $5$ .

$e^{x} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

خطوة 2.2.8

اجمع $\frac{5}{2}$ و $x^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{x} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

خطوة 2.2.9

اجمع $e^{x}$ و $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $\frac{5}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{5 e^{x} x^{\frac{3}{2}}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{3}{2}}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

خطوة 2.3.5

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

خطوة 2.3.6

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

خطوة 2.3.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

خطوة 2.3.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

خطوة 2.3.8.2

اطرح $2$ من $3$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

خطوة 2.3.9

اجمع $\frac{3}{2}$ و $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

خطوة 2.3.10

اجمع $e^{x}$ و $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} (\frac{e^{x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5}{2} \cdot \frac{e^{x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{5}{2} (x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

خطوة 2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اضرب $\frac{5}{2}$ في $\frac{e^{x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{5 (e^{x} (3 x^{\frac{1}{2}}))}{2 \cdot 2} + \frac{5}{2} (x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

خطوة 2.4.2.2

اضرب $3$ في $5$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 (e^{x} (x^{\frac{1}{2}}))}{2 \cdot 2} + \frac{5}{2} (x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

خطوة 2.4.2.3

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 (e^{x} (x^{\frac{1}{2}}))}{4} + \frac{5}{2} (x^{\frac{3}{2}} e^{x})$

خطوة 2.4.2.4

اجمع $x^{\frac{3}{2}}$ و $\frac{5}{2}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{2} e^{x}$

خطوة 2.4.2.5

اجمع $\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{2}$ و $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 5 e^{x}}{2}$

خطوة 2.4.2.6

انقُل $5$ إلى يسار $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5 \cdot x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2}$

خطوة 2.4.2.7

أضف $\frac{e^{x} (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$ و $\frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.7.1

انقُل $e^{x}$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

خطوة 2.4.2.7.2

أضف $\frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2}$ و $\frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2}$ .

$2 \frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

خطوة 2.4.2.8

اجمع $2$ و $\frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}} e^{x})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

خطوة 2.4.2.9

اضرب $5$ في $2$ .

$\frac{10 (x^{\frac{3}{2}} e^{x})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

خطوة 2.4.2.10

أخرِج العامل $2$ من $10 x^{\frac{3}{2}} e^{x}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}} e^{x})}{2} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

خطوة 2.4.2.11

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.11.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}} e^{x})}{2 (1)} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

خطوة 2.4.2.11.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}} e^{x})}{2 \cdot 1} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

خطوة 2.4.2.11.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}}{1} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

خطوة 2.4.2.11.4

اقسِم $5 x^{\frac{3}{2}} e^{x}$ على $1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} e^{x} + x^{\frac{5}{2}} e^{x} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = 5 e^{x} x^{\frac{3}{2}} + e^{x} x^{\frac{5}{2}} + \frac{15 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}{4}$