حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 2 \sec (5 x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \sec (5 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\sec (5 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec (5 x)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sec (x)$ و $g (x) = 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $5 x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [5 x])$

خطوة 1.2.2

مشتق $\sec (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\sec (u) \tan (u)$ .

$2 (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [5 x])$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 x$ .

$2 (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sec (5 x) \tan (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.2

اضرب $5$ في $2$ .

$10 \sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$10 \sec (5 x) \tan (5 x) \cdot 1$

خطوة 1.3.4

اضرب $10$ في $1$ .

$f' (x) = 10 \sec (5 x) \tan (5 x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $10 \sec (5 x) \tan (5 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $10 \frac{d}{d x} [\sec (5 x) \tan (5 x)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\sec (5 x) \tan (5 x)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sec (5 x)$ و $g (x) = \tan (5 x)$ .

$10 (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)] + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \tan (x)$ و $g (x) = 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $5 x$ .

$10 (\sec (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

خطوة 2.3.2

مشتق $\tan (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\sec^{2} (u_{1})$ .

$10 (\sec (5 x) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $5 x$ .

$10 (\sec (5 x) (\sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

خطوة 2.4

ارفع $\sec (5 x)$ إلى القوة $1$ .

$10 (\sec^{2} (5 x) \sec^{1} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

خطوة 2.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$10 ({\sec (5 x)}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [5 x] + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أضف $2$ و $1$ .

$10 (\sec^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

خطوة 2.6.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 (\sec^{3} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

خطوة 2.6.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$10 (\sec^{3} (5 x) (5 \cdot 1) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

خطوة 2.6.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.1

اضرب $5$ في $1$ .

$10 (\sec^{3} (5 x) \cdot 5 + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

خطوة 2.6.4.2

انقُل $5$ إلى يسار $\sec^{3} (5 x)$ .

$10 (5 \cdot \sec^{3} (5 x) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

خطوة 2.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sec (x)$ و $g (x) = 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $5 x$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x]))$

خطوة 2.7.2

مشتق $\sec (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan (5 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x]))$

خطوة 2.7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $5 x$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

خطوة 2.8

ارفع $\tan (5 x)$ إلى القوة $1$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan^{1} (5 x) \tan (5 x) (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

خطوة 2.9

ارفع $\tan (5 x)$ إلى القوة $1$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan^{1} (5 x) \tan^{1} (5 x) (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

خطوة 2.10

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + {\tan (5 x)}^{1 + 1} (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

خطوة 2.11

أضف $1$ و $1$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan^{2} (5 x) (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

خطوة 2.12

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 2.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) (5 \cdot 1))$

خطوة 2.14

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.14.1

اضرب $5$ في $1$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) \cdot 5)$

خطوة 2.14.2

انقُل $5$ إلى يسار $\tan^{2} (5 x) \sec (5 x)$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + 5 \cdot (\tan^{2} (5 x) \sec (5 x)))$

خطوة 2.15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1

طبّق خاصية التوزيع.

$10 (5 \sec^{3} (5 x)) + 10 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x))$

خطوة 2.15.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.2.1

اضرب $5$ في $10$ .

$50 \sec^{3} (5 x) + 10 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x))$

خطوة 2.15.2.2

اضرب $5$ في $10$ .

$50 \sec^{3} (5 x) + 50 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x)$

خطوة 2.15.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = 50 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + 50 \sec^{3} (5 x)$