حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(7 + \frac{4}{x})}^{4}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = 7 + \frac{4}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $7 + \frac{4}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [7 + \frac{4}{x}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [7 + \frac{4}{x}]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $7 + \frac{4}{x}$ .

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [7 + \frac{4}{x}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 + \frac{4}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}])$

خطوة 1.2.2

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}])$

خطوة 1.2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$

خطوة 1.2.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

خطوة 1.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

اضرب $4$ في $4$ .

$16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

خطوة 1.2.5.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

خطوة 1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (- x^{- 2})$

خطوة 1.2.7

اضرب $- 1$ في $16$ .

$- 16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} x^{- 2}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1.3.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

اجمع $\frac{1}{x^{2}}$ و $- 16$ .

$\frac{- 16}{x^{2}} {(7 + \frac{4}{x})}^{3}$

خطوة 1.3.2.2

اجمع $\frac{- 16}{x^{2}}$ و ${(7 + \frac{4}{x})}^{3}$ .

$\frac{- 16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

خطوة 1.3.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

خطوة 1.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

لكتابة $7$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{16 {(\frac{7 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

خطوة 1.3.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{16 {(\frac{7 x + 4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

خطوة 1.3.3.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{7 x + 4}{x}$ .

$- \frac{16 \frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

خطوة 1.3.4

اجمع $16$ و $\frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}}$ .

$- \frac{\frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

خطوة 1.3.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- (\frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

خطوة 1.3.6

اجمع.

$- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3} \cdot 1}{x^{3} x^{2}}$

خطوة 1.3.7

اضرب $x^{3}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.7.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3} \cdot 1}{x^{3 + 2}}$

خطوة 1.3.7.2

أضف $3$ و $2$ .

$- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3} \cdot 1}{x^{5}}$

خطوة 1.3.8

اضرب $16 {(7 x + 4)}^{3}$ في $1$ .

$f' (x) = - \frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $- 16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 16 \frac{d}{d x} [\frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}]$ .

$- 16 \frac{d}{d x} [\frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = {(7 x + 4)}^{3}$ و $g (x) = x^{5}$ .

$- 16 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(7 x + 4)}^{3}] - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

خطوة 2.3

اضرب الأُسس في ${(x^{5})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 16 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(7 x + 4)}^{3}] - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

خطوة 2.3.2

اضرب $5$ في $2$ .

$- 16 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(7 x + 4)}^{3}] - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = 7 x + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $7 x + 4$ .

$- 16 \frac{x^{5} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [7 x + 4]) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [7 x + 4]) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $7 x + 4$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [7 x + 4]) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 2.5.2

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 2.5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 2.5.4

اضرب $7$ في $1$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 2.5.5

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 + 0)) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 2.5.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.6.1

أضف $7$ و $0$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} \cdot 7) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 2.5.6.2

اضرب $7$ في $3$ .

$- 16 \frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 2.5.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$- 16 \frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - {(7 x + 4)}^{3} (5 x^{4})}{x^{10}}$

خطوة 2.5.8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.8.1

اضرب $5$ في $- 1$ .

$- 16 \frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4}}{x^{10}}$

خطوة 2.5.8.2

اجمع $- 16$ و $\frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4}}{x^{10}}$ .

$\frac{- 16 (x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

خطوة 2.5.8.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{16 (x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{16 (x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2})) + 16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

خطوة 2.6.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

أخرِج العامل $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ من $16 x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) + 16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1.1

أخرِج العامل $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ من $16 x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2})$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21)) + 16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

خطوة 2.6.2.1.2

أخرِج العامل $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ من $16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21)) + 16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 5 (7 x + 4))}{x^{10}}$

خطوة 2.6.2.1.3

أخرِج العامل $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ من $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21)) + 16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 5 (7 x + 4))$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21) - 5 (7 x + 4))}{x^{10}}$

خطوة 2.6.2.2

انقُل $21$ إلى يسار $x$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 5 (7 x + 4))}{x^{10}}$

خطوة 2.6.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 5 (7 x) - 5 \cdot 4)}{x^{10}}$

خطوة 2.6.2.4

اضرب $7$ في $- 5$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 35 x - 5 \cdot 4)}{x^{10}}$

خطوة 2.6.2.5

اضرب $- 5$ في $4$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 35 x - 20)}{x^{10}}$

خطوة 2.6.2.6

اطرح $35 x$ من $21 x$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 14 x - 20)}{x^{10}}$

خطوة 2.6.2.7

أخرِج العامل $2$ من $- 14 x - 20$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.7.1

أخرِج العامل $2$ من $- 14 x$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (2 (- 7 x) - 20)}{x^{10}}$

خطوة 2.6.2.7.2

أخرِج العامل $2$ من $- 20$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (2 (- 7 x) + 2 (- 10))}{x^{10}}$

خطوة 2.6.2.7.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- 7 x) + 2 (- 10)$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (2 (- 7 x - 10))}{x^{10}}$

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} \cdot 2 (- 7 x - 10)}{x^{10}}$

خطوة 2.6.2.8

اضرب $2$ في $16$ .

$- \frac{32 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10)}{x^{10}}$

خطوة 2.6.3

احذِف العامل المشترك لـ $x^{4}$ و $x^{10}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1

أخرِج العامل $x^{4}$ من $32 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10)$ .

$- \frac{x^{4} (32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10))}{x^{10}}$

خطوة 2.6.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.2.1

أخرِج العامل $x^{4}$ من $x^{10}$ .

$- \frac{x^{4} (32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10))}{x^{4} x^{6}}$

خطوة 2.6.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{x^{4} (32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10))}{x^{4} x^{6}}$

خطوة 2.6.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10)}{x^{6}}$

خطوة 2.6.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 7 x$ .

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- (7 x) - 10)}{x^{6}}$

خطوة 2.6.5

أعِد كتابة $- 10$ بالصيغة $- 1 (10)$ .

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- (7 x) - 1 (10))}{x^{6}}$

خطوة 2.6.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (7 x) - 1 (10)$ .

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- (7 x + 10))}{x^{6}}$

خطوة 2.6.7

أعِد كتابة $- (7 x + 10)$ بالصيغة $- 1 (7 x + 10)$ .

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- 1 (7 x + 10))}{x^{6}}$

خطوة 2.6.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- - \frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$

خطوة 2.6.9

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$

خطوة 2.6.10

اضرب $\frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$ في $1$ .

$\frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$

خطوة 2.6.11

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (7 x + 10)}{x^{6}}$