حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \ln (x)$ , $[1, 8]$

خطوة 1

إذا كانت $f$ متصلة في الفترة $[a, b]$ وقابلة للاشتقاق في $(a, b)$ ، إذن يوجد على الأقل عدد حقيقي واحد $c$ في الفترة $(a, b)$ حيث إن $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . وتعبر نظرية القيمة المتوسطة عن العلاقة بين ميل المماس للمنحنى عند $x = c$ وميل الخط المار بالنقطتين $(a, f (a))$ و $(b, f (b))$ .

إذا كانت $f (x)$ متصلة في $[a, b]$

وإذا كانت $f (x)$ قابلة للاشتقاق على $(a, b)$ ،

إذن، توجد نقطة واحدة على الأقل، $c$ في $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

خطوة 2

تحقق مما إذا كانت $f (x) = \ln (x)$ متصلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لمعرفة ما إذا كانت الدالة متصلة في $[1, 8]$ أم لا، أوجِد نطاق $f (x) = \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\ln (x)$ بحيث تصبح أكبر من $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$x > 0$

خطوة 2.1.2

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x > 0}$

ترميز الفترة:

$(0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x > 0}$

خطوة 2.2

$f (x)$ متصلة على $[1, 8]$ .

الدالة متصلة.

خطوة 3

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x}$

خطوة 3.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 4

أوجِد ما إذا كان المشتق متصلاً على $(1, 8)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لمعرفة ما إذا كانت الدالة متصلة في $(1, 8)$ أم لا، أوجِد نطاق $f' (x) = \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1}{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x = 0$

خطوة 4.1.2

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 0}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 0}$

خطوة 4.2

$f' (x)$ متصلة على $(1, 8)$ .

الدالة متصلة.

خطوة 5

الدالة قابلة للاشتقاق على $(1, 8)$ لأن المشتق متصل على $(1, 8)$ .

الدالة قابلة للاشتقاق.

خطوة 6

تستوفي $f (x)$ الشرطين لنظرية القيمة المتوسطة. إنها متصلة على $[1, 8]$ وقابلة للاشتقاق على $(1, 8)$ .

$f (x)$ متصلة على $[1, 8]$ وقابلة للاشتقاق على $(1, 8)$ .

خطوة 7

احسِب قيمة $f (a)$ من الفترة $[1, 8]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = \ln (1)$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$f (1) = 0$

خطوة 7.2.2

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 8

احسِب قيمة $f (b)$ من الفترة $[1, 8]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $8$ في العبارة.

$f (8) = \ln (8)$

خطوة 8.2

الإجابة النهائية هي $\ln (8)$ .

$\ln (8)$

خطوة 9

أوجِد قيمة $x$ في $\frac{1}{x} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ . $\frac{1}{x} = \frac{- (f (8) + f (1))}{- (8 + 1)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

حلّل كل حد إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (8) + 0}{(8) - (1)}$

خطوة 9.1.2

أضف $\ln (8)$ و $0$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (8)}{(8) - (1)}$

خطوة 9.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (8)}{8 - 1}$

خطوة 9.1.4

اطرح $1$ من $8$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (8)}{7}$

خطوة 9.1.5

أعِد كتابة $\frac{\ln (8)}{7}$ بالصيغة $\frac{1}{7} \ln (8)$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{7} \ln (8)$

خطوة 9.1.6

بسّط $\frac{1}{7} \ln (8)$ بنقل $\frac{1}{7}$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{1}{x} = \ln (8^{\frac{1}{7}})$

خطوة 9.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$x, 1$

خطوة 9.2.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$x$

خطوة 9.3

اضرب كل حد في $\frac{1}{x} = \ln (8^{\frac{1}{7}})$ في $x$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{x} = \ln (8^{\frac{1}{7}})$ في $x$ .

$\frac{1}{x} x = \ln (8^{\frac{1}{7}}) x$

خطوة 9.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x} x = \ln (8^{\frac{1}{7}}) x$

خطوة 9.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = \ln (8^{\frac{1}{7}}) x$

خطوة 9.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.1

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (8^{\frac{1}{7}}) x$ .

$1 = x \ln (8^{\frac{1}{7}})$

خطوة 9.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x \ln (8^{\frac{1}{7}}) = 1$ .

$x \ln (8^{\frac{1}{7}}) = 1$

خطوة 9.4.2

اقسِم كل حد في $x \ln (8^{\frac{1}{7}}) = 1$ على $\ln (8^{\frac{1}{7}})$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.2.1

اقسِم كل حد في $x \ln (8^{\frac{1}{7}}) = 1$ على $\ln (8^{\frac{1}{7}})$ .

$\frac{x \ln (8^{\frac{1}{7}})}{\ln (8^{\frac{1}{7}})} = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$

خطوة 9.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \ln (8^{\frac{1}{7}})}{\ln (8^{\frac{1}{7}})} = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$

خطوة 9.4.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$

خطوة 10

يوجد خط مماس عند $x = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$ الموازي للخط المار عبر نقطتي النهاية $a = 1$ و $b = 8$ .

يوجد خط مماس عند $x = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$ الموازي للخط المار عبر نقطتي النهاية $a = 1$ و $b = 8$

خطوة 11