حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \sin (θ)$

خطوة 1

استخدِم تعريف المماس لإيجاد أطوال الأضلاع المعروفة للمثلث قائم الزاوية في دائرة الوحدة. يحدد الربع علامة كل قيمة من القيم.

$\tan (θ) = \frac{مقابل}{مجاور}$

خطوة 2

أوجِد وتر مثلث دائرة الوحدة. ونظرًا إلى أن الضلعين المجاور والمقابل معروفان، استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد الضلع المتبقي.

$الوتر = \sqrt{{مقابل}^{2} + {مجاور}^{2}}$

خطوة 3

استبدِل القيم المعروفة في المعادلة.

$الوتر = \sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} + {(3)}^{2}}$

خطوة 4

بسّط ما تحت علامة الجذر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sqrt{3}$ .

الوتر $= \sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(3)}^{2}}$

خطوة 4.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

الوتر $= \sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} + {(3)}^{2}}$

خطوة 4.3

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

الوتر $= \sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(3)}^{2}}$

خطوة 4.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

الوتر $= \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(3)}^{2}}$

خطوة 4.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

الوتر $= \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(3)}^{2}}$

خطوة 4.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

الوتر $= \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(3)}^{2}}$

خطوة 4.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

الوتر $= \sqrt{4 \cdot 3 + {(3)}^{2}}$

خطوة 4.3.5

احسِب قيمة الأُس.

الوتر $= \sqrt{4 \cdot 3 + {(3)}^{2}}$

خطوة 4.4

اضرب $4$ في $3$ .

الوتر $= \sqrt{12 + {(3)}^{2}}$

خطوة 4.5

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

الوتر $= \sqrt{12 + 9}$

خطوة 4.6

أضف $12$ و $9$ .

الوتر $= \sqrt{21}$

خطوة 5

أوجِد قيمة الجيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استخدِم تعريف الجيب لإيجاد قيمة $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

خطوة 5.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{21}}$

خطوة 5.3

بسّط قيمة $\sin (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اجمع $\sqrt{3}$ و $\sqrt{21}$ في جذر واحد.

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{3}{21}}$

خطوة 5.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $21$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{3 (1)}{21}}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $21$ .

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 7}}$

خطوة 5.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 7}}$

خطوة 5.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{1}{7}}$

خطوة 5.3.3

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{7}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}}$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}})$

خطوة 5.3.4

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{1}{\sqrt{7}})$

خطوة 5.3.5

اضرب $\frac{1}{\sqrt{7}}$ في $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{1}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

خطوة 5.3.6

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{7}}$ في $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}})$

خطوة 5.3.6.2

ارفع $\sqrt{7}$ إلى القوة $1$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}})$

خطوة 5.3.6.3

ارفع $\sqrt{7}$ إلى القوة $1$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}})$

خطوة 5.3.6.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}})$

خطوة 5.3.6.5

أضف $1$ و $1$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}})$

خطوة 5.3.6.6

أعِد كتابة ${\sqrt{7}}^{2}$ بالصيغة $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{7}$ في صورة $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

خطوة 5.3.6.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

خطوة 5.3.6.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 5.3.6.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 5.3.6.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7})$

خطوة 5.3.6.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7})$

خطوة 5.3.7

اجمع $2$ و $\frac{\sqrt{7}}{7}$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$

خطوة 6

أوجِد قيمة جيب التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استخدِم تعريف جيب التمام لإيجاد قيمة $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

خطوة 6.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\cos (θ) = \frac{3}{\sqrt{21}}$

خطوة 6.3

بسّط قيمة $\cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب $\frac{3}{\sqrt{21}}$ في $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3}{\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$

خطوة 6.3.2

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

اضرب $\frac{3}{\sqrt{21}}$ في $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

خطوة 6.3.2.2

ارفع $\sqrt{21}$ إلى القوة $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

خطوة 6.3.2.3

ارفع $\sqrt{21}$ إلى القوة $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

خطوة 6.3.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1 + 1}}$

خطوة 6.3.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{2}}$

خطوة 6.3.2.6

أعِد كتابة ${\sqrt{21}}^{2}$ بالصيغة $21$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{21}$ في صورة $21^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 6.3.2.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 6.3.2.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 6.3.2.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 6.3.2.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21}$

خطوة 6.3.2.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21}$

خطوة 6.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $21$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

أخرِج العامل $3$ من $3 \sqrt{21}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 (\sqrt{21})}{21}$

خطوة 6.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $21$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{3 \cdot 7}$

خطوة 6.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{3 \cdot 7}$

خطوة 6.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{21}}{7}$

خطوة 7

اجمع $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ و $\sin (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}$

خطوة 8

أوجِد قيمة ظل التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استخدِم تعريف ظل التمام لإيجاد قيمة $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

خطوة 8.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\cot (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{3}}$

خطوة 8.3

بسّط قيمة $\cot (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اضرب $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

خطوة 8.3.2

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

اضرب $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 8.3.2.2

انقُل $\sqrt{3}$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

خطوة 8.3.2.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

خطوة 8.3.2.4

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

خطوة 8.3.2.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 8.3.2.6

أضف $1$ و $1$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 8.3.2.7

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 8.3.2.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 8.3.2.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 8.3.2.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 8.3.2.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

خطوة 8.3.2.7.5

احسِب قيمة الأُس.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

خطوة 8.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

خطوة 8.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 9

أوجِد قيمة القاطع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استخدِم تعريف القاطع لإيجاد قيمة $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

خطوة 9.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{21}}{3}$

خطوة 10

أوجِد قيمة قاطع التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

استخدِم تعريف قاطع التمام لإيجاد قيمة $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

خطوة 10.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{21}}{2 \sqrt{3}}$

خطوة 10.3

بسّط قيمة $\csc (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

اجمع $\sqrt{21}$ و $\sqrt{3}$ في جذر واحد.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{21}{3}}}{2}$

خطوة 10.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $21$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $21$ .

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3}}}{2}$

خطوة 10.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 (1)}}}{2}$

خطوة 10.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1}}}{2}$

خطوة 10.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{7}{1}}}{2}$

خطوة 10.3.2.2.4

اقسِم $7$ على $1$ .

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{7}}{2}$

خطوة 11

هذا هو الحل لكل قيمة من القيم المثلثية.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{21}}{7}$

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}$

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{21}}{3}$

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{7}}{2}$