حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - 4 x$ ; $[- 2, 2]$

خطوة 1

أوجِد النقاط الحرجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{2}{3} x^{3} - 4 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 1.1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

بما أن $\frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2}{3} x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 1.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 1.1.1.2.3

اجمع $3$ و $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 1.1.1.2.4

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 1.1.1.2.5

اجمع $\frac{6}{3}$ و $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 1.1.1.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.6.1

أخرِج العامل $3$ من $6 x^{2}$ .

$\frac{3 (2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 1.1.1.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 1.1.1.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 1.1.1.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 1.1.1.2.6.2.4

اقسِم $2 x^{2}$ على $1$ .

$2 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 1.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x^{2} - 4 \cdot 1$

خطوة 1.1.1.3.3

اضرب $- 4$ في $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 4$

خطوة 1.1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x^{2} - 4$ .

$2 x^{2} - 4$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $2 x^{2} - 4 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x^{2} - 4 = 0$

خطوة 1.2.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$2 x^{2} = 4$

خطوة 1.2.3

اقسِم كل حد في $2 x^{2} = 4$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اقسِم كل حد في $2 x^{2} = 4$ على $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{4}{2}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{4}{2}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{2}$

خطوة 1.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.1

اقسِم $4$ على $2$ .

$x^{2} = 2$

خطوة 1.2.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{2}$

خطوة 1.2.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{2}$

خطوة 1.2.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{2}$

خطوة 1.2.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

خطوة 1.3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{2}{3} x^{3} - 4 x$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

احسِب القيمة في $x = \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\sqrt{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(\sqrt{2})}^{3} - 4 \sqrt{2}$

خطوة 1.4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1.1

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{2^{3}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \sqrt{2^{3}} - 4 \sqrt{2}$

خطوة 1.4.1.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \sqrt{8} - 4 \sqrt{2}$

خطوة 1.4.1.2.1.3

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1.3.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\frac{2}{3} \cdot \sqrt{4 (2)} - 4 \sqrt{2}$

خطوة 1.4.1.2.1.3.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 4 \sqrt{2}$

خطوة 1.4.1.2.1.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{2}{3} \cdot (2 \sqrt{2}) - 4 \sqrt{2}$

خطوة 1.4.1.2.1.5

اضرب $\frac{2}{3} (2 \sqrt{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1.5.1

اجمع $2$ و $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}$

خطوة 1.4.1.2.1.5.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4}{3} \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}$

خطوة 1.4.1.2.1.5.3

اجمع $\frac{4}{3}$ و $\sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{3} - 4 \sqrt{2}$

خطوة 1.4.1.2.2

لكتابة $- 4 \sqrt{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{3} - 4 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 1.4.1.2.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.3.1

اجمع $- 4 \sqrt{2}$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{3} + \frac{- 4 \sqrt{2} \cdot 3}{3}$

خطوة 1.4.1.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} \cdot 3}{3}$

خطوة 1.4.1.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.4.1

اضرب $3$ في $- 4$ .

$\frac{4 \sqrt{2} - 12 \sqrt{2}}{3}$

خطوة 1.4.1.2.4.2

اطرح $12 \sqrt{2}$ من $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{3}$

خطوة 1.4.1.2.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{8 \sqrt{2}}{3}$

خطوة 1.4.2

احسِب القيمة في $x = - \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- \sqrt{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(- \sqrt{2})}^{3} - 4 (- \sqrt{2})$

خطوة 1.4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \sqrt{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}) - 4 (- \sqrt{2})$

خطوة 1.4.2.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot (- {\sqrt{2}}^{3}) - 4 (- \sqrt{2})$

خطوة 1.4.2.2.1.3

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{2^{3}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot (- \sqrt{2^{3}}) - 4 (- \sqrt{2})$

خطوة 1.4.2.2.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot (- \sqrt{8}) - 4 (- \sqrt{2})$

خطوة 1.4.2.2.1.5

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1.5.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\frac{2}{3} \cdot (- \sqrt{4 (2)}) - 4 (- \sqrt{2})$

خطوة 1.4.2.2.1.5.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot (- \sqrt{2^{2} \cdot 2}) - 4 (- \sqrt{2})$

خطوة 1.4.2.2.1.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{2}{3} \cdot (- (2 \sqrt{2})) - 4 (- \sqrt{2})$

خطوة 1.4.2.2.1.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot (- 2 \sqrt{2}) - 4 (- \sqrt{2})$

خطوة 1.4.2.2.1.8

اضرب $\frac{2}{3} (- 2 \sqrt{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1.8.1

اجمع $- 2$ و $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 2}{3} \sqrt{2} - 4 (- \sqrt{2})$

خطوة 1.4.2.2.1.8.2

اضرب $- 2$ في $2$ .

$\frac{- 4}{3} \sqrt{2} - 4 (- \sqrt{2})$

خطوة 1.4.2.2.1.8.3

اجمع $\frac{- 4}{3}$ و $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2}}{3} - 4 (- \sqrt{2})$

خطوة 1.4.2.2.1.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{3} - 4 (- \sqrt{2})$

خطوة 1.4.2.2.1.10

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 4 \sqrt{2}$

خطوة 1.4.2.2.2

لكتابة $4 \sqrt{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 4 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 1.4.2.2.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.3.1

اجمع $4 \sqrt{2}$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{3} + \frac{4 \sqrt{2} \cdot 3}{3}$

خطوة 1.4.2.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} \cdot 3}{3}$

خطوة 1.4.2.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.4.1

اضرب $3$ في $4$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} + 12 \sqrt{2}}{3}$

خطوة 1.4.2.2.4.2

أضف $- 4 \sqrt{2}$ و $12 \sqrt{2}$ .

$\frac{8 \sqrt{2}}{3}$

خطوة 1.4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(\sqrt{2}, - \frac{8 \sqrt{2}}{3}), (- \sqrt{2}, \frac{8 \sqrt{2}}{3})$

خطوة 2

احسِب القيمة عند نقاط النهاية المُضمّنة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب القيمة في $x = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 2$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - 4 \cdot - 2$

خطوة 2.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot - 8 - 4 \cdot - 2$

خطوة 2.1.2.1.2

اضرب $\frac{2}{3} \cdot - 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.2.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $- 8$ .

$\frac{2 \cdot - 8}{3} - 4 \cdot - 2$

خطوة 2.1.2.1.2.2

اضرب $2$ في $- 8$ .

$\frac{- 16}{3} - 4 \cdot - 2$

خطوة 2.1.2.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{16}{3} - 4 \cdot - 2$

خطوة 2.1.2.1.4

اضرب $- 4$ في $- 2$ .

$- \frac{16}{3} + 8$

خطوة 2.1.2.2

لكتابة $8$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 2.1.2.3

اجمع $8$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3}$

خطوة 2.1.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 16 + 8 \cdot 3}{3}$

خطوة 2.1.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.5.1

اضرب $8$ في $3$ .

$\frac{- 16 + 24}{3}$

خطوة 2.1.2.5.2

أضف $- 16$ و $24$ .

$\frac{8}{3}$

خطوة 2.2

احسِب القيمة في $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $2$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(2)}^{3} - 4 \cdot 2$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 8 - 4 \cdot 2$

خطوة 2.2.2.1.2

اضرب $\frac{2}{3} \cdot 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.2.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $8$ .

$\frac{2 \cdot 8}{3} - 4 \cdot 2$

خطوة 2.2.2.1.2.2

اضرب $2$ في $8$ .

$\frac{16}{3} - 4 \cdot 2$

خطوة 2.2.2.1.3

اضرب $- 4$ في $2$ .

$\frac{16}{3} - 8$

خطوة 2.2.2.2

لكتابة $- 8$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} - 8 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 2.2.2.3

اجمع $- 8$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3}$

خطوة 2.2.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{16 - 8 \cdot 3}{3}$

خطوة 2.2.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.5.1

اضرب $- 8$ في $3$ .

$\frac{16 - 24}{3}$

خطوة 2.2.2.5.2

اطرح $24$ من $16$ .

$\frac{- 8}{3}$

خطوة 2.2.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{8}{3}$

خطوة 2.3

اسرِد جميع النقاط.

$(- 2, \frac{8}{3}), (2, - \frac{8}{3})$

خطوة 3

قارن قيم $f (x)$ الموجودة لكل قيمة من قيم $x$ من أجل تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق على مدى الفترة الزمنية المحددة. سيظهر الحد الأقصى بأعلى قيمة $f (x)$ وسيظهر الحد الأدنى بأقل قيمة $f (x)$ .

الحد الأقصى المطلق: $(- \sqrt{2}, \frac{8 \sqrt{2}}{3})$

الحد الأدنى المطلق: $(\sqrt{2}, - \frac{8 \sqrt{2}}{3})$

خطوة 4