حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x (12 - x)$ ; $(- \infty, \infty)$

خطوة 1

أوجِد النقاط الحرجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = 12 - x$ .

$x \frac{d}{d x} [12 - x] + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $12 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x (\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]) + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.1.2.2

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $12$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.1.2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x \frac{d}{d x} [- x] + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.1.2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- \frac{d}{d x} [x]) + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (- 1 \cdot 1) + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$x \cdot - 1 + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.1.2.6.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$- 1 \cdot x + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.1.2.6.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$- x + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.1.2.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- x + (12 - x) \cdot 1$

خطوة 1.1.1.2.8

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.8.1

اضرب $12 - x$ في $1$ .

$- x + 12 - x$

خطوة 1.1.1.2.8.2

اطرح $x$ من $- x$ .

$f' (x) = - 2 x + 12$

خطوة 1.1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 2 x + 12$ .

$- 2 x + 12$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- 2 x + 12 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 2 x + 12 = 0$

خطوة 1.2.2

اطرح $12$ من كلا المتعادلين.

$- 2 x = - 12$

خطوة 1.2.3

اقسِم كل حد في $- 2 x = - 12$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اقسِم كل حد في $- 2 x = - 12$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 12}{- 2}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 12}{- 2}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 12}{- 2}$

خطوة 1.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.1

اقسِم $- 12$ على $- 2$ .

$x = 6$

خطوة 1.3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 1.4

احسِب قيمة $x (12 - x)$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

احسِب القيمة في $x = 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $6$ .

$(6) (12 - (6))$

خطوة 1.4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $6$ .

$6 (12 - 6)$

خطوة 1.4.1.2.2

اطرح $6$ من $12$ .

$6 \cdot 6$

خطوة 1.4.1.2.3

اضرب $6$ في $6$ .

$36$

خطوة 1.4.2

اسرِد جميع النقاط.

$(6, 36)$

خطوة 2

استخدِم اختبار المشتق الأول لتحديد النقاط التي يمكن أن تمثل نقاطًا قصوى أو دنيا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

خطوة 2.2

عوّض بأي عدد، مثل $0$ ، من الفترة $(- \infty, 6)$ في المشتق الأول $- 2 x + 12$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f' (0) = - 2 \cdot 0 + 12$

خطوة 2.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اضرب $- 2$ في $0$ .

$f' (0) = 0 + 12$

خطوة 2.2.2.2

أضف $0$ و $12$ .

$f' (0) = 12$

خطوة 2.2.2.3

الإجابة النهائية هي $12$ .

$12$

خطوة 2.3

عوّض بأي عدد، مثل $8$ ، من الفترة $(6, \infty)$ في المشتق الأول $- 2 x + 12$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $8$ في العبارة.

$f' (8) = - 2 \cdot 8 + 12$

خطوة 2.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اضرب $- 2$ في $8$ .

$f' (8) = - 16 + 12$

خطوة 2.3.2.2

أضف $- 16$ و $12$ .

$f' (8) = - 4$

خطوة 2.3.2.3

الإجابة النهائية هي $- 4$ .

$- 4$

خطوة 2.4

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من موجب إلى سالب حول $x = 6$ ، إذن $x = 6$ تمثل حدًا أقصى محليًا.

$x = 6$ هي حد أقصى محلي

خطوة 3

قارن قيم $f (x)$ الموجودة لكل قيمة من قيم $x$ من أجل تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق على مدى الفترة الزمنية المحددة. سيظهر الحد الأقصى بأعلى قيمة $f (x)$ وسيظهر الحد الأدنى بأقل قيمة $f (x)$ .

الحد الأقصى المطلق: $(6, 36)$

لا توجد نقطة دنيا مطلقة

خطوة 4