حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \ln (x^{2} + 5 x + 9)$ , $[- 3, 1]$

خطوة 1

أوجِد النقاط الحرجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{2} + 5 x + 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 5 x + 9$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 9]$

خطوة 1.1.1.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 9]$

خطوة 1.1.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 5 x + 9$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 9]$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 5 x + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 1.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 1.1.1.2.3

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 1.1.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 1.1.1.2.5

اضرب $5$ في $1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5 + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 1.1.1.2.6

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5 + 0)$

خطوة 1.1.1.2.7

أضف $2 x + 5$ و $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5)$

خطوة 1.1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5)$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{x^{2} + 5 x + 9}$

خطوة 1.1.1.3.2

اضرب $2 x + 5$ في $\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9}$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9}$

خطوة 1.1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9}$ .

$\frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9}$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9} = 0$

خطوة 1.2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 x + 5 = 0$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$2 x = - 5$

خطوة 1.2.3.2

اقسِم كل حد في $2 x = - 5$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = - 5$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

خطوة 1.2.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

خطوة 1.2.3.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

خطوة 1.2.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{5}{2}$

خطوة 1.3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\ln (x^{2} + 5 x + 9)$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

احسِب القيمة في $x = - \frac{5}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- \frac{5}{2}$ .

$\ln ({(- \frac{5}{2})}^{2} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

خطوة 1.4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{5}{2}$ .

$\ln ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

خطوة 1.4.1.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{5}{2}$ .

$\ln ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

خطوة 1.4.1.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\ln (1 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

خطوة 1.4.1.2.1.3

اضرب $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ في $1$ .

$\ln (\frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

خطوة 1.4.1.2.1.4

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$\ln (\frac{25}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

خطوة 1.4.1.2.1.5

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\ln (\frac{25}{4} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

خطوة 1.4.1.2.1.6

اضرب $5 (- \frac{5}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1.6.1

اضرب $- 1$ في $5$ .

$\ln (\frac{25}{4} - 5 (\frac{5}{2}) + 9)$

خطوة 1.4.1.2.1.6.2

اجمع $- 5$ و $\frac{5}{2}$ .

$\ln (\frac{25}{4} + \frac{- 5 \cdot 5}{2} + 9)$

خطوة 1.4.1.2.1.6.3

اضرب $- 5$ في $5$ .

$\ln (\frac{25}{4} + \frac{- 25}{2} + 9)$

خطوة 1.4.1.2.1.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 9)$

خطوة 1.4.1.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.2.1

اضرب $\frac{25}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\ln (\frac{25}{4} - (\frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 9)$

خطوة 1.4.1.2.2.2

اضرب $\frac{25}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 9)$

خطوة 1.4.1.2.2.3

اكتب $9$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{1})$

خطوة 1.4.1.2.2.4

اضرب $\frac{9}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{1} \cdot \frac{4}{4})$

خطوة 1.4.1.2.2.5

اضرب $\frac{9}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9 \cdot 4}{4})$

خطوة 1.4.1.2.2.6

اضرب $2$ في $2$ .

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4} + \frac{9 \cdot 4}{4})$

خطوة 1.4.1.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\ln (\frac{25 - 25 \cdot 2 + 9 \cdot 4}{4})$

خطوة 1.4.1.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.4.1

اضرب $- 25$ في $2$ .

$\ln (\frac{25 - 50 + 9 \cdot 4}{4})$

خطوة 1.4.1.2.4.2

اضرب $9$ في $4$ .

$\ln (\frac{25 - 50 + 36}{4})$

خطوة 1.4.1.2.5

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.5.1

اطرح $50$ من $25$ .

$\ln (\frac{- 25 + 36}{4})$

خطوة 1.4.1.2.5.2

أضف $- 25$ و $36$ .

$\ln (\frac{11}{4})$

خطوة 1.4.2

اسرِد جميع النقاط.

$(- \frac{5}{2}, \ln (\frac{11}{4}))$

خطوة 2

احسِب القيمة عند نقاط النهاية المُضمّنة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب القيمة في $x = - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 3$ .

$\ln ({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 9)$

خطوة 2.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$\ln (9 + 5 (- 3) + 9)$

خطوة 2.1.2.1.2

اضرب $5$ في $- 3$ .

$\ln (9 - 15 + 9)$

خطوة 2.1.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

اطرح $15$ من $9$ .

$\ln (- 6 + 9)$

خطوة 2.1.2.2.2

أضف $- 6$ و $9$ .

$\ln (3)$

خطوة 2.2

احسِب القيمة في $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1$ .

$\ln ({(1)}^{2} + 5 (1) + 9)$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\ln (1 + 5 (1) + 9)$

خطوة 2.2.2.1.2

اضرب $5$ في $1$ .

$\ln (1 + 5 + 9)$

خطوة 2.2.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

أضف $1$ و $5$ .

$\ln (6 + 9)$

خطوة 2.2.2.2.2

أضف $6$ و $9$ .

$\ln (15)$

خطوة 2.3

اسرِد جميع النقاط.

$(- 3, \ln (3)), (1, \ln (15))$

خطوة 3

قارن قيم $f (x)$ الموجودة لكل قيمة من قيم $x$ من أجل تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق على مدى الفترة الزمنية المحددة. سيظهر الحد الأقصى بأعلى قيمة $f (x)$ وسيظهر الحد الأدنى بأقل قيمة $f (x)$ .

الحد الأقصى المطلق: $(1, \ln (15))$

الحد الأدنى المطلق: $(- \frac{5}{2}, \ln (\frac{11}{4}))$

خطوة 4