حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x + 2 \sin (x)$ , $(0, π)$

خطوة 1

أوجِد النقاط الحرجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

خطوة 1.1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

خطوة 1.1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$1 + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.1.1.2.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$f' (x) = 1 + 2 \cos (x)$

خطوة 1.1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $1 + 2 \cos (x)$ .

$1 + 2 \cos (x)$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $1 + 2 \cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$1 + 2 \cos (x) = 0$

خطوة 1.2.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 \cos (x) = - 1$

خطوة 1.2.3

اقسِم كل حد في $2 \cos (x) = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اقسِم كل حد في $2 \cos (x) = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

خطوة 1.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.2.4

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

خطوة 1.2.5

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (- \frac{1}{2})$ هي $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

خطوة 1.2.6

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

خطوة 1.2.7

بسّط $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

خطوة 1.2.7.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

خطوة 1.2.7.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

خطوة 1.2.7.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.3.1

اضرب $3$ في $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

خطوة 1.2.7.3.2

اطرح $2 π$ من $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

خطوة 1.2.8

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.8.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 1.2.8.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 1.2.8.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 1.2.8.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 1.2.9

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 1.4

احسِب قيمة $x + 2 \sin (x)$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

احسِب القيمة في $x = \frac{2 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{2 π}{3}$ .

$(\frac{2 π}{3}) + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.4.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$\frac{2 π}{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

خطوة 1.4.1.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.4.1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.4.1.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

خطوة 1.4.2

احسِب القيمة في $x = \frac{8 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{8 π}{3}$ .

$(\frac{8 π}{3}) + 2 \sin (\frac{8 π}{3})$

خطوة 1.4.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\frac{8 π}{3} + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.4.2.2.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$\frac{8 π}{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

خطوة 1.4.2.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{8 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.4.2.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{8 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.4.2.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{8 π}{3} + \sqrt{3}$

خطوة 1.4.3

احسِب القيمة في $x = \frac{14 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{14 π}{3}$ .

$(\frac{14 π}{3}) + 2 \sin (\frac{14 π}{3})$

خطوة 1.4.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.2.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\frac{14 π}{3} + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.4.3.2.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$\frac{14 π}{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

خطوة 1.4.3.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{14 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.4.3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{14 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.4.3.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{14 π}{3} + \sqrt{3}$

خطوة 1.4.4

احسِب القيمة في $x = \frac{20 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{20 π}{3}$ .

$(\frac{20 π}{3}) + 2 \sin (\frac{20 π}{3})$

خطوة 1.4.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.2.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\frac{20 π}{3} + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.4.4.2.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$\frac{20 π}{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

خطوة 1.4.4.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{20 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.4.4.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{20 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.4.4.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{20 π}{3} + \sqrt{3}$

خطوة 1.4.5

احسِب القيمة في $x = \frac{26 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.5.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{26 π}{3}$ .

$(\frac{26 π}{3}) + 2 \sin (\frac{26 π}{3})$

خطوة 1.4.5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.5.2.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\frac{26 π}{3} + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

خطوة 1.4.5.2.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$\frac{26 π}{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

خطوة 1.4.5.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{26 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.4.5.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.5.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{26 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.4.5.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{26 π}{3} + \sqrt{3}$

خطوة 1.4.6

احسِب القيمة في $x = \frac{4 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.6.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{4 π}{3}$ .

$(\frac{4 π}{3}) + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

خطوة 1.4.6.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.6.2.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الثالث.

$\frac{4 π}{3} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

خطوة 1.4.6.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{4 π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 1.4.6.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.6.2.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{4 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.4.6.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.4.6.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$

خطوة 1.4.7

احسِب القيمة في $x = \frac{10 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.7.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{10 π}{3}$ .

$(\frac{10 π}{3}) + 2 \sin (\frac{10 π}{3})$

خطوة 1.4.7.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.7.2.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\frac{10 π}{3} + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

خطوة 1.4.7.2.2

$\frac{10 π}{3} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

خطوة 1.4.7.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{10 π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 1.4.7.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.7.2.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{10 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.4.7.2.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{10 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.4.7.2.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{10 π}{3} - \sqrt{3}$

خطوة 1.4.8

احسِب القيمة في $x = \frac{16 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.8.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{16 π}{3}$ .

$(\frac{16 π}{3}) + 2 \sin (\frac{16 π}{3})$

خطوة 1.4.8.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.8.2.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\frac{16 π}{3} + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

خطوة 1.4.8.2.2

$\frac{16 π}{3} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

خطوة 1.4.8.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{16 π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 1.4.8.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.8.2.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{16 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.4.8.2.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{16 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.4.8.2.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{16 π}{3} - \sqrt{3}$

خطوة 1.4.9

احسِب القيمة في $x = \frac{22 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.9.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{22 π}{3}$ .

$(\frac{22 π}{3}) + 2 \sin (\frac{22 π}{3})$

خطوة 1.4.9.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.9.2.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\frac{22 π}{3} + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

خطوة 1.4.9.2.2

$\frac{22 π}{3} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

خطوة 1.4.9.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{22 π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 1.4.9.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.9.2.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{22 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.4.9.2.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{22 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.4.9.2.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{22 π}{3} - \sqrt{3}$

خطوة 1.4.10

احسِب القيمة في $x = \frac{28 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.10.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{28 π}{3}$ .

$(\frac{28 π}{3}) + 2 \sin (\frac{28 π}{3})$

خطوة 1.4.10.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.10.2.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\frac{28 π}{3} + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

خطوة 1.4.10.2.2

$\frac{28 π}{3} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

خطوة 1.4.10.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{28 π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 1.4.10.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.10.2.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{28 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.4.10.2.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{28 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.4.10.2.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{28 π}{3} - \sqrt{3}$

خطوة 1.4.11

اسرِد جميع النقاط.

$(\frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{8 π}{3}, \frac{8 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{14 π}{3}, \frac{14 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{20 π}{3}, \frac{20 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{26 π}{3}, \frac{26 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{4 π}{3}, \frac{4 π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{10 π}{3}, \frac{10 π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{16 π}{3}, \frac{16 π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{22 π}{3}, \frac{22 π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{28 π}{3}, \frac{28 π}{3} - \sqrt{3})$

خطوة 2

استبعِد النقاط غير الموجودة في الفترة.

$(\frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3} + \sqrt{3})$

خطوة 3

استخدِم اختبار المشتق الأول لتحديد النقاط التي يمكن أن تمثل نقاطًا قصوى أو دنيا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, \frac{2 π}{3}) \cup (\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}) \cup (\frac{4 π}{3}, \frac{8 π}{3}) \cup (\frac{8 π}{3}, \frac{10 π}{3}) \cup (\frac{10 π}{3}, \frac{14 π}{3}) \cup (\frac{14 π}{3}, \frac{16 π}{3}) \cup (\frac{16 π}{3}, \frac{20 π}{3}) \cup (\frac{20 π}{3}, \frac{22 π}{3}) \cup (\frac{22 π}{3}, \frac{26 π}{3}) \cup (\frac{26 π}{3}, \frac{28 π}{3}) \cup (\frac{28 π}{3}, \infty)$

خطوة 3.2

عوّض بأي عدد، مثل $0$ ، من الفترة $(- \infty, \frac{2 π}{3})$ في المشتق الأول $1 + 2 \cos (x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f' (0) = 1 + 2 \cos (0)$

خطوة 3.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f' (0) = 1 + 2 \cdot 1$

خطوة 3.2.2.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$f' (0) = 1 + 2$

خطوة 3.2.2.2

أضف $1$ و $2$ .

$f' (0) = 3$

خطوة 3.2.2.3

الإجابة النهائية هي $3$ .

$3$

خطوة 3.3

عوّض بأي عدد، مثل $3$ ، من الفترة $(\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3})$ في المشتق الأول $1 + 2 \cos (x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f' (3) = 1 + 2 \cos (3)$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

احسِب قيمة $\cos (3)$ .

$f' (3) = 1 + 2 \cdot - 0.98999249$

خطوة 3.3.2.1.2

اضرب $2$ في $- 0.98999249$ .

$f' (3) = 1 - 1.97998499$

خطوة 3.3.2.2

اطرح $1.97998499$ من $1$ .

$f' (3) = - 0.97998499$

خطوة 3.3.2.3

الإجابة النهائية هي $- 0.97998499$ .

$- 0.97998499$

خطوة 3.4

عوّض بأي عدد، مثل $6$ ، من الفترة $(\frac{4 π}{3}, \frac{8 π}{3})$ في المشتق الأول $1 + 2 \cos (x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $6$ في العبارة.

$f' (6) = 1 + 2 \cos (6)$

خطوة 3.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

احسِب قيمة $\cos (6)$ .

$f' (6) = 1 + 2 \cdot 0.96017028$

خطوة 3.4.2.1.2

اضرب $2$ في $0.96017028$ .

$f' (6) = 1 + 1.92034057$

خطوة 3.4.2.2

أضف $1$ و $1.92034057$ .

$f' (6) = 2.92034057$

خطوة 3.4.2.3

الإجابة النهائية هي $2.92034057$ .

$2.92034057$

خطوة 3.5

عوّض بأي عدد، مثل $9$ ، من الفترة $(\frac{8 π}{3}, \frac{10 π}{3})$ في المشتق الأول $1 + 2 \cos (x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $9$ في العبارة.

$f' (9) = 1 + 2 \cos (9)$

خطوة 3.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1

احسِب قيمة $\cos (9)$ .

$f' (9) = 1 + 2 \cdot - 0.91113026$

خطوة 3.5.2.1.2

اضرب $2$ في $- 0.91113026$ .

$f' (9) = 1 - 1.82226052$

خطوة 3.5.2.2

اطرح $1.82226052$ من $1$ .

$f' (9) = - 0.82226052$

خطوة 3.5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 0.82226052$ .

$- 0.82226052$

خطوة 3.6

عوّض بأي عدد، مثل $13$ ، من الفترة $(\frac{10 π}{3}, \frac{14 π}{3})$ في المشتق الأول $1 + 2 \cos (x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $13$ في العبارة.

$f' (13) = 1 + 2 \cos (13)$

خطوة 3.6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1.1

احسِب قيمة $\cos (13)$ .

$f' (13) = 1 + 2 \cdot 0.90744678$

خطوة 3.6.2.1.2

اضرب $2$ في $0.90744678$ .

$f' (13) = 1 + 1.81489356$

خطوة 3.6.2.2

أضف $1$ و $1.81489356$ .

$f' (13) = 2.81489356$

خطوة 3.6.2.3

الإجابة النهائية هي $2.81489356$ .

$2.81489356$

خطوة 3.7

عوّض بأي عدد، مثل $16$ ، من الفترة $(\frac{14 π}{3}, \frac{16 π}{3})$ في المشتق الأول $1 + 2 \cos (x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $16$ في العبارة.

$f' (16) = 1 + 2 \cos (16)$

خطوة 3.7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1.1

احسِب قيمة $\cos (16)$ .

$f' (16) = 1 + 2 \cdot - 0.95765948$

خطوة 3.7.2.1.2

اضرب $2$ في $- 0.95765948$ .

$f' (16) = 1 - 1.91531896$

خطوة 3.7.2.2

اطرح $1.91531896$ من $1$ .

$f' (16) = - 0.91531896$

خطوة 3.7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 0.91531896$ .

$- 0.91531896$

خطوة 3.8

عوّض بأي عدد، مثل $19$ ، من الفترة $(\frac{16 π}{3}, \frac{20 π}{3})$ في المشتق الأول $1 + 2 \cos (x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $19$ في العبارة.

$f' (19) = 1 + 2 \cos (19)$

خطوة 3.8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.1.1

احسِب قيمة $\cos (19)$ .

$f' (19) = 1 + 2 \cdot 0.98870461$

خطوة 3.8.2.1.2

اضرب $2$ في $0.98870461$ .

$f' (19) = 1 + 1.97740923$

خطوة 3.8.2.2

أضف $1$ و $1.97740923$ .

$f' (19) = 2.97740923$

خطوة 3.8.2.3

الإجابة النهائية هي $2.97740923$ .

$2.97740923$

خطوة 3.9

عوّض بأي عدد، مثل $22$ ، من الفترة $(\frac{20 π}{3}, \frac{22 π}{3})$ في المشتق الأول $1 + 2 \cos (x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $22$ في العبارة.

$f' (22) = 1 + 2 \cos (22)$

خطوة 3.9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.1.1

احسِب قيمة $\cos (22)$ .

$f' (22) = 1 + 2 \cdot - 0.99996082$

خطوة 3.9.2.1.2

اضرب $2$ في $- 0.99996082$ .

$f' (22) = 1 - 1.99992165$

خطوة 3.9.2.2

اطرح $1.99992165$ من $1$ .

$f' (22) = - 0.99992165$

خطوة 3.9.2.3

الإجابة النهائية هي $- 0.99992165$ .

$- 0.99992165$

خطوة 3.10

عوّض بأي عدد، مثل $25$ ، من الفترة $(\frac{22 π}{3}, \frac{26 π}{3})$ في المشتق الأول $1 + 2 \cos (x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $25$ في العبارة.

$f' (25) = 1 + 2 \cos (25)$

خطوة 3.10.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.1.1

احسِب قيمة $\cos (25)$ .

$f' (25) = 1 + 2 \cdot 0.99120281$

خطوة 3.10.2.1.2

اضرب $2$ في $0.99120281$ .

$f' (25) = 1 + 1.98240562$

خطوة 3.10.2.2

أضف $1$ و $1.98240562$ .

$f' (25) = 2.98240562$

خطوة 3.10.2.3

الإجابة النهائية هي $2.98240562$ .

$2.98240562$

خطوة 3.11

عوّض بأي عدد، مثل $28$ ، من الفترة $(\frac{26 π}{3}, \frac{28 π}{3})$ في المشتق الأول $1 + 2 \cos (x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $28$ في العبارة.

$f' (28) = 1 + 2 \cos (28)$

خطوة 3.11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.2.1.1

احسِب قيمة $\cos (28)$ .

$f' (28) = 1 + 2 \cdot - 0.96260586$

خطوة 3.11.2.1.2

اضرب $2$ في $- 0.96260586$ .

$f' (28) = 1 - 1.92521173$

خطوة 3.11.2.2

اطرح $1.92521173$ من $1$ .

$f' (28) = - 0.92521173$

خطوة 3.11.2.3

الإجابة النهائية هي $- 0.92521173$ .

$- 0.92521173$

خطوة 3.12

عوّض بأي عدد، مثل $32$ ، من الفترة $(\frac{28 π}{3}, \infty)$ في المشتق الأول $1 + 2 \cos (x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $32$ في العبارة.

$f' (32) = 1 + 2 \cos (32)$

خطوة 3.12.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.2.1.1

احسِب قيمة $\cos (32)$ .

$f' (32) = 1 + 2 \cdot 0.83422336$

خطوة 3.12.2.1.2

اضرب $2$ في $0.83422336$ .

$f' (32) = 1 + 1.66844672$

خطوة 3.12.2.2

أضف $1$ و $1.66844672$ .

$f' (32) = 2.66844672$

خطوة 3.12.2.3

الإجابة النهائية هي $2.66844672$ .

$2.66844672$

خطوة 3.13

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من موجب إلى سالب حول $x = \frac{2 π}{3}$ ، إذن $x = \frac{2 π}{3}$ تمثل حدًا أقصى محليًا.

$x = \frac{2 π}{3}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 3.14

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = \frac{4 π}{3}$ ، إذن $x = \frac{4 π}{3}$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = \frac{4 π}{3}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 3.15

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من موجب إلى سالب حول $x = \frac{8 π}{3}$ ، إذن $x = \frac{8 π}{3}$ تمثل حدًا أقصى محليًا.

$x = \frac{8 π}{3}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 3.16

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = \frac{10 π}{3}$ ، إذن $x = \frac{10 π}{3}$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = \frac{10 π}{3}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 3.17

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من موجب إلى سالب حول $x = \frac{14 π}{3}$ ، إذن $x = \frac{14 π}{3}$ تمثل حدًا أقصى محليًا.

$x = \frac{14 π}{3}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 3.18

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = \frac{16 π}{3}$ ، إذن $x = \frac{16 π}{3}$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = \frac{16 π}{3}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 3.19

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من موجب إلى سالب حول $x = \frac{20 π}{3}$ ، إذن $x = \frac{20 π}{3}$ تمثل حدًا أقصى محليًا.

$x = \frac{20 π}{3}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 3.20

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = \frac{22 π}{3}$ ، إذن $x = \frac{22 π}{3}$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = \frac{22 π}{3}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 3.21

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من موجب إلى سالب حول $x = \frac{26 π}{3}$ ، إذن $x = \frac{26 π}{3}$ تمثل حدًا أقصى محليًا.

$x = \frac{26 π}{3}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 3.22

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = \frac{28 π}{3}$ ، إذن $x = \frac{28 π}{3}$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = \frac{28 π}{3}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 3.23

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = x + 2 \sin (x)$ .

$x = \frac{2 π}{3}$ هي حد أقصى محلي

$x = \frac{4 π}{3}$ هي حد أدنى محلي

$x = \frac{8 π}{3}$ هي حد أقصى محلي

$x = \frac{10 π}{3}$ هي حد أدنى محلي

$x = \frac{14 π}{3}$ هي حد أقصى محلي

$x = \frac{16 π}{3}$ هي حد أدنى محلي

$x = \frac{20 π}{3}$ هي حد أقصى محلي

$x = \frac{22 π}{3}$ هي حد أدنى محلي

$x = \frac{26 π}{3}$ هي حد أقصى محلي

$x = \frac{28 π}{3}$ هي حد أدنى محلي

$x = \frac{2 π}{3}$ هي حد أقصى محلي

$x = \frac{4 π}{3}$ هي حد أدنى محلي

$x = \frac{8 π}{3}$ هي حد أقصى محلي

$x = \frac{10 π}{3}$ هي حد أدنى محلي

$x = \frac{14 π}{3}$ هي حد أقصى محلي

$x = \frac{16 π}{3}$ هي حد أدنى محلي

$x = \frac{20 π}{3}$ هي حد أقصى محلي

$x = \frac{22 π}{3}$ هي حد أدنى محلي

$x = \frac{26 π}{3}$ هي حد أقصى محلي

$x = \frac{28 π}{3}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 4

قارن قيم $f (x)$ الموجودة لكل قيمة من قيم $x$ من أجل تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق على مدى الفترة الزمنية المحددة. سيظهر الحد الأقصى بأعلى قيمة $f (x)$ وسيظهر الحد الأدنى بأقل قيمة $f (x)$ .

الحد الأقصى المطلق: $(\frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3} + \sqrt{3})$

لا توجد نقطة دنيا مطلقة

خطوة 5