حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \cos^{3} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \cos^{3} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\cos (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

خطوة 1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$2 (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

خطوة 1.2.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$2 (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

خطوة 1.2.4

اضرب $- 1$ في $3$ .

$2 (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

خطوة 1.2.5

اضرب $- 3$ في $2$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 1.3.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x))$

خطوة 1.3.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \cos^{2} (x)$ و $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

خطوة 2.2.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

خطوة 2.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

خطوة 2.2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

خطوة 2.2.5

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

خطوة 2.2.6

اضرب $\cos^{2} (x)$ في $\cos (x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

اضرب $\cos^{2} (x)$ في $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1.1

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

خطوة 2.2.6.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - 6 ({\cos (x)}^{2 + 1} + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

خطوة 2.2.6.2

أضف $2$ و $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

خطوة 2.2.7

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (- 2 \cos (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

خطوة 2.2.8

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

خطوة 2.2.9

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

خطوة 2.2.10

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

خطوة 2.2.11

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \frac{d}{d x} \sin (x)$

خطوة 2.3.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \cos (x)$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - 6 \cos^{3} (x) - 6 (- 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \cos (x)$

خطوة 2.4.2

اضرب $- 2$ في $- 6$ .

$f'' (x) = - 6 \cos^{3} (x) + 12 \cos (x) \sin^{2} (x) - 3 \cos (x)$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = 12 \sin^{2} (x) \cos (x) - 6 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x) = 0$

خطوة 4

أخرِج العامل $3 \sin (x)$ من $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أخرِج العامل $3 \sin (x)$ من $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x) = 0$

خطوة 4.2

أخرِج العامل $3 \sin (x)$ من $- 3 \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

خطوة 4.3

أخرِج العامل $3 \sin (x)$ من $3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1$ .

$3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

خطوة 5

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $\sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $\sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (x) = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (0)$

خطوة 6.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 6.2.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - 0$

خطوة 6.2.4

اطرح $0$ من $π$ .

$x = π$

خطوة 6.2.5

حل المعادلة $x = 0$ .

$x = 0, π$

خطوة 7

عيّن قيمة العبارة $- 2 \cos^{2} (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عيّن قيمة $- 2 \cos^{2} (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

خطوة 7.2

أوجِد قيمة $x$ في $- 2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$- 2 \cos^{2} (x) = 1$

خطوة 7.2.2

اقسِم كل حد في $- 2 \cos^{2} (x) = 1$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اقسِم كل حد في $- 2 \cos^{2} (x) = 1$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

خطوة 7.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

خطوة 7.2.2.2.1.2

اقسِم $\cos^{2} (x)$ على $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{- 2}$

خطوة 7.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\cos^{2} (x) = - \frac{1}{2}$

خطوة 7.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

خطوة 7.2.4

بسّط $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{2}$ بالصيغة $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $i^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

خطوة 7.2.4.1.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

خطوة 7.2.4.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\cos (x) = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

خطوة 7.2.4.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\cos (x) = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

خطوة 7.2.4.4

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

خطوة 7.2.4.5

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

خطوة 7.2.4.6

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

خطوة 7.2.4.7

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.7.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 7.2.4.7.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

خطوة 7.2.4.7.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

خطوة 7.2.4.7.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 7.2.4.7.5

أضف $1$ و $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 7.2.4.7.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.7.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 7.2.4.7.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 7.2.4.7.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.2.4.7.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.7.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.2.4.7.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

خطوة 7.2.4.7.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 7.2.4.8

اجمع $i$ و $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

خطوة 7.2.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

خطوة 7.2.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

خطوة 7.2.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

خطوة 7.2.6

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

خطوة 7.2.7

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.7.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (\frac{i \sqrt{2}}{2})$

خطوة 7.2.7.2

دالة جيب التمام العكسية لـ $\arccos (\frac{i \sqrt{2}}{2})$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 7.2.8

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.8.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

خطوة 7.2.8.2

دالة جيب التمام العكسية لـ $\arccos (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 7.2.9

اسرِد جميع الحلول.

لا يوجد حل

خطوة 8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$ صحيحة.

$x = 0, π$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$12 \sin^{2} (0) \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

خطوة 10

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$12 \cdot 0^{2} \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

خطوة 10.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$12 \cdot 0 \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

خطوة 10.1.3

اضرب $12$ في $0$ .

$0 \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

خطوة 10.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$0 \cdot 1 - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

خطوة 10.1.5

اضرب $0$ في $1$ .

$0 - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

خطوة 10.1.6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$0 - 6 \cdot 1^{3} - 3 \cos (0)$

خطوة 10.1.7

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$0 - 6 \cdot 1 - 3 \cos (0)$

خطوة 10.1.8

اضرب $- 6$ في $1$ .

$0 - 6 - 3 \cos (0)$

خطوة 10.1.9

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$0 - 6 - 3 \cdot 1$

خطوة 10.1.10

اضرب $- 3$ في $1$ .

$0 - 6 - 3$

خطوة 10.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اطرح $6$ من $0$ .

$- 6 - 3$

خطوة 10.2.2

اطرح $3$ من $- 6$ .

$- 9$

خطوة 11

$x = 0$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

خطوة 12

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = 2 \cos^{3} (0) + 3 \cos (0)$

خطوة 12.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1^{3} + 3 \cos (0)$

خطوة 12.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (0) = 2 \cdot 1 + 3 \cos (0)$

خطوة 12.2.1.3

اضرب $2$ في $1$ .

$f (0) = 2 + 3 \cos (0)$

خطوة 12.2.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (0) = 2 + 3 \cdot 1$

خطوة 12.2.1.5

اضرب $3$ في $1$ .

$f (0) = 2 + 3$

خطوة 12.2.2

أضف $2$ و $3$ .

$f (0) = 5$

خطوة 12.2.3

الإجابة النهائية هي $5$ .

$y = 5$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = π$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$12 \sin^{2} (π) \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

خطوة 14

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$12 \sin^{2} (0) \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

خطوة 14.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$12 \cdot 0^{2} \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

خطوة 14.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$12 \cdot 0 \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

خطوة 14.1.4

اضرب $12$ في $0$ .

$0 \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

خطوة 14.1.5

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$0 (- \cos (0)) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

خطوة 14.1.6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

خطوة 14.1.7

اضرب $0 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.7.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 \cdot - 1 - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

خطوة 14.1.7.2

اضرب $0$ في $- 1$ .

$0 - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

خطوة 14.1.8

$0 - 6 {(- \cos (0))}^{3} - 3 \cos (π)$

خطوة 14.1.9

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$0 - 6 {(- 1 \cdot 1)}^{3} - 3 \cos (π)$

خطوة 14.1.10

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 - 6 {(- 1)}^{3} - 3 \cos (π)$

خطوة 14.1.11

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$0 - 6 \cdot - 1 - 3 \cos (π)$

خطوة 14.1.12

اضرب $- 6$ في $- 1$ .

$0 + 6 - 3 \cos (π)$

خطوة 14.1.13

$0 + 6 - 3 (- \cos (0))$

خطوة 14.1.14

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$0 + 6 - 3 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 14.1.15

اضرب $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.15.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 + 6 - 3 \cdot - 1$

خطوة 14.1.15.2

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$0 + 6 + 3$

خطوة 14.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

أضف $0$ و $6$ .

$6 + 3$

خطوة 14.2.2

أضف $6$ و $3$ .

$9$

خطوة 15

$x = π$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = π$ هي حد أدنى محلي

خطوة 16

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $π$ في العبارة.

$f (π) = 2 \cos^{3} (π) + 3 \cos (π)$

خطوة 16.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1.1

$f (π) = 2 {(- \cos (0))}^{3} + 3 \cos (π)$

خطوة 16.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (π) = 2 {(- 1 \cdot 1)}^{3} + 3 \cos (π)$

خطوة 16.2.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (π) = 2 {(- 1)}^{3} + 3 \cos (π)$

خطوة 16.2.1.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f (π) = 2 \cdot - 1 + 3 \cos (π)$

خطوة 16.2.1.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (π) = - 2 + 3 \cos (π)$

خطوة 16.2.1.6

$f (π) = - 2 + 3 (- \cos (0))$

خطوة 16.2.1.7

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (π) = - 2 + 3 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 16.2.1.8

اضرب $3 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1.8.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (π) = - 2 + 3 \cdot - 1$

خطوة 16.2.1.8.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f (π) = - 2 - 3$

خطوة 16.2.2

اطرح $3$ من $- 2$ .

$f (π) = - 5$

خطوة 16.2.3

الإجابة النهائية هي $- 5$ .

$y = - 5$

خطوة 17

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 2 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$ .

$(0, 5)$ هي نقطة قصوى محلية

$(π, - 5)$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 18