حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(x + 4)}^{2}$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{({(x + 4)}^{2})}^{2}}$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

اضرب الأُسس في ${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 1.1.3.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.3.3

اضرب ${(x + 4)}^{2}$ في $1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 4$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 4$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.5

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.5.2

أخرِج العامل $x + 4$ من ${(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.2.1

أخرِج العامل $x + 4$ من ${(x + 4)}^{2}$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4) - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.5.2.2

أخرِج العامل $x + 4$ من $- 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.5.2.3

أخرِج العامل $x + 4$ من $(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

خطوة 1.1.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

أخرِج العامل $x + 4$ من ${(x + 4)}^{4}$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

خطوة 1.1.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

خطوة 1.1.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 1.1.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 1.1.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 1.1.9

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (1 + 0)}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 1.1.10

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.10.1

أضف $1$ و $0$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x \cdot 1}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 1.1.10.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 1.1.10.3

اطرح $2 x$ من $x$ .

$4 \frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 1.1.10.4

اجمع $4$ و $\frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$\frac{4 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 1.1.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 (- x) + 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 1.1.11.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.11.2.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{- 4 x + 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 1.1.11.2.2

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{- 4 x + 16}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 1.1.11.3

أخرِج العامل $4$ من $- 4 x + 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.11.3.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4 x$ .

$\frac{4 (- x) + 16}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 1.1.11.3.2

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$\frac{4 (- x) + 4 (4)}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 1.1.11.3.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (- x) + 4 (4)$ .

$\frac{4 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 1.1.11.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{4 (- (x) + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 1.1.11.5

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $- 1 (- 4)$ .

$\frac{4 (- (x) - 1 (- 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 1.1.11.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{4 (- (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 1.1.11.7

أعِد كتابة $- (x - 4)$ بالصيغة $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{4 (- 1 (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 1.1.11.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$4 (x - 4) = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $4 (x - 4) = 0$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

اقسِم كل حد في $4 (x - 4) = 0$ على $4$ .

$\frac{4 (x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 2.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 (x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 2.3.1.2.1.2

اقسِم $x - 4$ على $1$ .

$x - 4 = \frac{0}{4}$

خطوة 2.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1

اقسِم $0$ على $4$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 2.3.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x + 4)}^{3} = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

عيّن قيمة $x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 4 = 0$

خطوة 3.2.2

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$x = - 4$

خطوة 4

احسِب قيمة $\frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $4$ .

$\frac{4 (4)}{{((4) + 4)}^{2}}$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{16}{{(4 + 4)}^{2}}$

خطوة 4.1.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

أضف $4$ و $4$ .

$\frac{16}{8^{2}}$

خطوة 4.1.2.2.2

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$\frac{16}{64}$

خطوة 4.1.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $64$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

أخرِج العامل $16$ من $16$ .

$\frac{16 (1)}{64}$

خطوة 4.1.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.2.1

أخرِج العامل $16$ من $64$ .

$\frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4}$

خطوة 4.1.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4}$

خطوة 4.1.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4}$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 4$ .

$\frac{4 (- 4)}{{((- 4) + 4)}^{2}}$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أضف $- 4$ و $4$ .

$\frac{4 (- 4)}{0^{2}}$

خطوة 4.2.2.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{4 (- 4)}{0}$

خطوة 4.2.2.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(4, \frac{1}{4})$

خطوة 5