حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{3 t^{2} + 27}]$ .

$f' (t) = 4 \frac{d}{d t} (\frac{t}{3 t^{2} + 27})$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ هو $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ حيث $f (t) = t$ و $g (t) = 3 t^{2} + 27$ .

$f' (t) = 4 (\frac{(3 t^{2} + 27) \frac{d}{d t} (t) - t \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{(3 t^{2} + 27) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

خطوة 1.1.3.2

اضرب $3 t^{2} + 27$ في $1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

خطوة 1.1.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 t^{2} + 27$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [27]$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (\frac{d}{d t} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} (27))}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

خطوة 1.1.3.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $3 t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (3 \frac{d}{d t} (t^{2}) + \frac{d}{d t} (27))}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

خطوة 1.1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (3 (2 t) + \frac{d}{d t} (27))}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

خطوة 1.1.3.6

اضرب $2$ في $3$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t + \frac{d}{d t} (27))}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

خطوة 1.1.3.7

بما أن $27$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $27$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

خطوة 1.1.3.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.8.1

أضف $6 t$ و $0$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

خطوة 1.1.3.8.2

اضرب $6$ في $- 1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 t \cdot t}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

خطوة 1.1.4

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 (t \cdot t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

خطوة 1.1.5

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 (t \cdot t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

خطوة 1.1.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 t^{1 + 1}}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

خطوة 1.1.7

أضف $1$ و $1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 t^{2}}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

خطوة 1.1.8

اطرح $6 t^{2}$ من $3 t^{2}$ .

$f' (t) = 4 (\frac{- 3 t^{2} + 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

خطوة 1.1.9

اجمع $4$ و $\frac{- 3 t^{2} + 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$ .

$f' (t) = \frac{4 (- 3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 1.1.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (t) = \frac{4 (- 3 t^{2}) + 4 \cdot 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 1.1.10.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.10.2.1

اضرب $- 3$ في $4$ .

$f' (t) = \frac{- 12 t^{2} + 4 \cdot 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 1.1.10.2.2

اضرب $4$ في $27$ .

$f' (t) = \frac{- 12 t^{2} + 108}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 1.1.10.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.10.3.1

أخرِج العامل $12$ من $- 12 t^{2} + 108$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.10.3.1.1

أخرِج العامل $12$ من $- 12 t^{2}$ .

$f' (t) = \frac{12 (- t^{2}) + 108}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 1.1.10.3.1.2

أخرِج العامل $12$ من $108$ .

$f' (t) = \frac{12 (- t^{2}) + 12 (9)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 1.1.10.3.1.3

أخرِج العامل $12$ من $12 (- t^{2}) + 12 (9)$ .

$f' (t) = \frac{12 (- t^{2} + 9)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 1.1.10.3.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$f' (t) = \frac{12 (- t^{2} + 3^{2})}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 1.1.10.3.3

أعِد ترتيب $- t^{2}$ و $3^{2}$ .

$f' (t) = \frac{12 (3^{2} - t^{2})}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 1.1.10.3.4

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 3$ و $b = t$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 1.1.10.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.10.4.1

أخرِج العامل $3$ من $3 t^{2} + 27$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.10.4.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 t^{2}$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 (t^{2}) + 27)}^{2}}$

خطوة 1.1.10.4.1.2

أخرِج العامل $3$ من $27$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 t^{2} + 3 \cdot 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.10.4.1.3

أخرِج العامل $3$ من $3 t^{2} + 3 \cdot 9$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 (t^{2} + 9))}^{2}}$

خطوة 1.1.10.4.2

طبّق قاعدة الضرب على $3 (t^{2} + 9)$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{3^{2} {(t^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.10.4.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{9 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.10.5

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.10.5.1

أخرِج العامل $3$ من $12 (3 + t) (3 - t)$ .

$f' (t) = \frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{9 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 1.1.10.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.10.5.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9 {(t^{2} + 9)}^{2}$ .

$f' (t) = \frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{3 (3 {(t^{2} + 9)}^{2})}$

خطوة 1.1.10.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f' (t) = \frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{3 (3 {(t^{2} + 9)}^{2})}$

خطوة 1.1.10.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (t) = \frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$4 (3 + t) (3 - t) = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $t$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$3 + t = 0$

$3 - t = 0$

خطوة 2.3.2

عيّن قيمة العبارة $3 + t$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

عيّن قيمة $3 + t$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 + t = 0$

خطوة 2.3.2.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$t = - 3$

خطوة 2.3.3

عيّن قيمة العبارة $3 - t$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

عيّن قيمة $3 - t$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 - t = 0$

خطوة 2.3.3.2

أوجِد قيمة $t$ في $3 - t = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$- t = - 3$

خطوة 2.3.3.2.2

اقسِم كل حد في $- t = - 3$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $- t = - 3$ على $- 1$ .

$\frac{- t}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 2.3.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{t}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 2.3.3.2.2.2.2

اقسِم $t$ على $1$ .

$t = \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 2.3.3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.3.1

اقسِم $- 3$ على $- 1$ .

$t = 3$

خطوة 2.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $4 (3 + t) (3 - t) = 0$ صحيحة.

$t = - 3, 3$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 4

احسِب قيمة $\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$ عند كل قيمة $t$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $t = - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $t$ التي تساوي $- 3$ .

$\frac{4 (- 3)}{3 {(- 3)}^{2} + 27}$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 3$ و $3 {(- 3)}^{2} + 27$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

أخرِج العامل $3$ من $4 (- 3)$ .

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 {(- 3)}^{2} + 27}$

خطوة 4.1.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 {(- 3)}^{2}$ .

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 ({(- 3)}^{2}) + 27}$

خطوة 4.1.2.1.2.2

أخرِج العامل $3$ من $27$ .

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 {(- 3)}^{2} + 3 \cdot 9}$

خطوة 4.1.2.1.2.3

أخرِج العامل $3$ من $3 {(- 3)}^{2} + 3 \cdot 9$ .

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 ({(- 3)}^{2} + 9)}$

خطوة 4.1.2.1.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 ({(- 3)}^{2} + 9)}$

خطوة 4.1.2.1.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 \cdot (- 1)}{{(- 3)}^{2} + 9}$

خطوة 4.1.2.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{- 4}{{(- 3)}^{2} + 9}$

خطوة 4.1.2.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{- 4}{9 + 9}$

خطوة 4.1.2.3.2

أضف $9$ و $9$ .

$\frac{- 4}{18}$

خطوة 4.1.2.4

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.4.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.4.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$\frac{2 (- 2)}{18}$

خطوة 4.1.2.4.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.4.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $18$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 9}$

خطوة 4.1.2.4.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 9}$

خطوة 4.1.2.4.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 2}{9}$

خطوة 4.1.2.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{9}$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $t = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $t$ التي تساوي $3$ .

$\frac{4 (3)}{3 {(3)}^{2} + 27}$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $3 {(3)}^{2} + 27$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

أخرِج العامل $3$ من $4 (3)$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(3)}^{2} + 27}$

خطوة 4.2.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 {(3)}^{2}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(3)}^{2}) + 27}$

خطوة 4.2.2.1.2.2

أخرِج العامل $3$ من $27$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(3)}^{2} + 3 \cdot 9}$

خطوة 4.2.2.1.2.3

أخرِج العامل $3$ من $3 {(3)}^{2} + 3 \cdot 9$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(3)}^{2} + 9)}$

خطوة 4.2.2.1.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(3)}^{2} + 9)}$

خطوة 4.2.2.1.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4}{{(3)}^{2} + 9}$

خطوة 4.2.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{4}{9 + 9}$

خطوة 4.2.2.2.2

أضف $9$ و $9$ .

$\frac{4}{18}$

خطوة 4.2.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 (2)}{18}$

خطوة 4.2.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $18$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9}$

خطوة 4.2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9}$

خطوة 4.2.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{9}$

خطوة 4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(- 3, - \frac{2}{9}), (3, \frac{2}{9})$

خطوة 5