حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 \sec (θ) + \tan (θ)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 \sec (θ) + \tan (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ هو $\frac{d}{d θ} [2 \sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$ .

$f' (θ) = \frac{d}{d θ} (2 \sec (θ)) + \frac{d}{d θ} (\tan (θ))$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d θ} [2 \sec (θ)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، إذن مشتق $2 \sec (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $2 \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$ .

$f' (θ) = 2 \frac{d}{d θ} (\sec (θ)) + \frac{d}{d θ} (\tan (θ))$

خطوة 1.1.2.2

مشتق $\sec (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$f' (θ) = 2 \sec (θ) \tan (θ) + \frac{d}{d θ} (\tan (θ))$

خطوة 1.1.3

مشتق $\tan (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $\sec^{2} (θ)$ .

$f' (θ) = 2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ)$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ هو $2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ)$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) = 0$

خطوة 2.2

استبدِل $\sec^{2} (θ)$ بـ $1 + \tan^{2} (θ)$ بناءً على المتطابقة $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) (1 + \tan^{2} (θ)) = 0$

خطوة 2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \sec (θ) \tan (θ) \cdot 1 + 2 \sec (θ) \tan (θ) \tan^{2} (θ) = 0$

خطوة 2.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ) \tan^{2} (θ) = 0$

خطوة 2.5

اضرب $\tan (θ)$ في $\tan^{2} (θ)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

انقُل $\tan^{2} (θ)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) (\tan^{2} (θ) \tan (θ)) = 0$

خطوة 2.5.2

اضرب $\tan^{2} (θ)$ في $\tan (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

ارفع $\tan (θ)$ إلى القوة $1$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) (\tan^{2} (θ) \tan (θ)) = 0$

خطوة 2.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) {\tan (θ)}^{2 + 1} = 0$

خطوة 2.5.3

أضف $2$ و $1$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) = 0$

خطوة 2.6

أعِد ترتيب متعدد الحدود.

$2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ) = 0$

خطوة 2.7

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

بسّط $2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1.1

أخرِج العامل $2 \sec (θ) \tan (θ)$ من $2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1.1.1

أخرِج العامل $2 \sec (θ) \tan (θ)$ من $2 \sec (θ) \tan^{3} (θ)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ)) + 2 \sec (θ) \tan (θ) = 0$

خطوة 2.7.1.1.2

أخرِج العامل $2 \sec (θ) \tan (θ)$ من $2 \sec (θ) \tan (θ)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ)) + 2 \sec (θ) \tan (θ) (1) = 0$

خطوة 2.7.1.1.3

أخرِج العامل $2 \sec (θ) \tan (θ)$ من $2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ)) + 2 \sec (θ) \tan (θ) (1)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ) + 1) = 0$

خطوة 2.7.1.2

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$2 \sec (θ) \tan (θ) \sec^{2} (θ) = 0$

خطوة 2.7.1.3

اضرب $\sec (θ)$ في $\sec^{2} (θ)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1.3.1

انقُل $\sec^{2} (θ)$ .

$2 (\sec^{2} (θ) \sec (θ)) \tan (θ) = 0$

خطوة 2.7.1.3.2

اضرب $\sec^{2} (θ)$ في $\sec (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1.3.2.1

ارفع $\sec (θ)$ إلى القوة $1$ .

$2 (\sec^{2} (θ) \sec^{1} (θ)) \tan (θ) = 0$

خطوة 2.7.1.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 {\sec (θ)}^{2 + 1} \tan (θ) = 0$

خطوة 2.7.1.3.3

أضف $2$ و $1$ .

$2 \sec^{3} (θ) \tan (θ) = 0$

خطوة 2.8

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\sec^{3} (θ) = 0$

$\tan (θ) = 0$

خطوة 2.9

عيّن قيمة العبارة $\sec^{3} (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

عيّن قيمة $\sec^{3} (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sec^{3} (θ) = 0$

خطوة 2.9.2

أوجِد قيمة $θ$ في $\sec^{3} (θ) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (θ) = \sqrt[3]{0}$

خطوة 2.9.2.2

بسّط $\sqrt[3]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$\sec (θ) = \sqrt[3]{0^{3}}$

خطوة 2.9.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$\sec (θ) = 0$

خطوة 2.9.2.3

مدى القاطع هو $y \leq - 1$ و $y \geq 1$ . وبما أن $0$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 2.10

عيّن قيمة العبارة $\tan (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1

عيّن قيمة $\tan (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\tan (θ) = 0$

خطوة 2.10.2

أوجِد قيمة $θ$ في $\tan (θ) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.2.1

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل المماس.

$θ = \arctan (0)$

خطوة 2.10.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (0)$ هي $0$ .

$θ = 0$

خطوة 2.10.2.3

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$θ = π + 0$

خطوة 2.10.2.4

أضف $π$ و $0$ .

$θ = π$

خطوة 2.10.2.5

أوجِد فترة $\tan (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 2.10.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 2.10.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 2.10.2.5.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 2.10.2.6

فترة دالة $\tan (θ)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = π n, π + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.11

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 \sec^{3} (θ) \tan (θ) = 0$ صحيحة.

$θ = π n, π + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.12

وحّد الإجابات.

$θ = π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\sec (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $\frac{π}{2} + π n$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$θ = \frac{π}{2} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.2

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

${θ | θ = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

احسِب قيمة $2 \sec (θ) + \tan (θ)$ عند كل قيمة $θ$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $θ = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $θ$ التي تساوي $0$ .

$2 \sec (0) + \tan (0)$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$2 \cdot 1 + \tan (0)$

خطوة 4.1.2.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \tan (0)$

خطوة 4.1.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$2 + 0$

خطوة 4.1.2.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $θ = π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $θ$ التي تساوي $π$ .

$2 \sec (π) + \tan (π)$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن القاطع سالب في الربع الثاني.

$2 (- \sec (0)) + \tan (π)$

خطوة 4.2.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1) + \tan (π)$

خطوة 4.2.2.1.3

اضرب $2 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 \cdot - 1 + \tan (π)$

خطوة 4.2.2.1.3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 + \tan (π)$

خطوة 4.2.2.1.4

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن المماس سالب في الربع الثاني.

$- 2 - \tan (0)$

خطوة 4.2.2.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$- 2 - 0$

خطوة 4.2.2.1.6

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- 2 + 0$

خطوة 4.2.2.2

أضف $- 2$ و $0$ .

$- 2$

خطوة 4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(0 + 2 π n, 2), (π + 2 π n, - 2)$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5