حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$C (t) = 3 t e^{- \frac{t}{3}}$

خطوة 1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int t e^{- \frac{t}{3}} d t$

خطوة 2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = t$ و $d v = e^{- \frac{t}{3}}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{1}{3} t}) - \int - 3 e^{- \frac{1}{3} t} d t)$

خطوة 3

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 3$ خارج التكامل.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{1}{3} t}) - (- 3 \int e^{- \frac{1}{3} t} d t))$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $t$ و $\frac{1}{3}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - (- 3 \int e^{- \frac{1}{3} t} d t))$

خطوة 4.2

اجمع $t$ و $\frac{1}{3}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - (- 3 \int e^{- \frac{t}{3}} d t))$

خطوة 4.3

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int e^{- \frac{t}{3}} d t)$

خطوة 5

لنفترض أن $u = - \frac{t}{3}$ . إذن $d u = - \frac{1}{3} d t$ ، لذا $- 3 d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = - \frac{t}{3}$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $- \frac{t}{3}$ .

$\frac{d}{d t} [- \frac{t}{3}]$

خطوة 5.1.2

بما أن $- \frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- \frac{t}{3}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{1}{3}$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{3}} d u)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u)$

خطوة 6.2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{3}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} (1 \cdot 3) d u)$

خطوة 6.3

اضرب $3$ في $1$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} \cdot 3 d u)$

خطوة 6.4

اضرب $3$ في $- 1$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - 3 e^{u} d u)$

خطوة 7

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 3$ خارج التكامل.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 (- 3 \int e^{u} d u))$

خطوة 8

اضرب $- 3$ في $3$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - 9 \int e^{u} d u)$

خطوة 9

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - 9 (e^{u} + C))$

خطوة 10

أعِد كتابة $3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - 9 (e^{u} + C))$ بالصيغة $3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}} - 9 e^{u}) + C$ .

$3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}} - 9 e^{u}) + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- \frac{t}{3}$ .

$3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}} - 9 e^{- \frac{t}{3}}) + C$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}}) + 3 (- 9 e^{- \frac{t}{3}}) + C$

خطوة 12.2

اضرب $- 3$ في $3$ .

$- 9 (t e^{- \frac{t}{3}}) + 3 (- 9 e^{- \frac{t}{3}}) + C$

خطوة 12.3

اضرب $- 9$ في $3$ .

$- 9 t e^{- \frac{t}{3}} - 27 e^{- \frac{t}{3}} + C$

خطوة 13

أعِد ترتيب الحدود.

$- 9 t e^{- \frac{1}{3} t} - 27 e^{- \frac{1}{3} t} + C$