حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{3} \sqrt{x^{2} + 1}$

خطوة 1

لنفترض أن $x = \tan (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \sec^{2} (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\sec^{2} (t)$ موجبة.

$\int \tan^{3} (t) \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \sec^{2} (t) d t$

خطوة 2

بسّط $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \tan^{3} (t) \sqrt{\sec^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

خطوة 2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \tan^{3} (t) \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

خطوة 3

اضرب $\sec (t)$ في $\sec^{2} (t)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل $\sec^{2} (t)$ .

$\int \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

خطوة 3.2

اضرب $\sec^{2} (t)$ في $\sec (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ارفع $\sec (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

خطوة 3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \tan^{3} (t) {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

خطوة 3.3

أضف $2$ و $1$ .

$\int \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

خطوة 4

أخرِج عامل $\tan^{2} (t)$ .

$\int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

خطوة 5

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (t)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

خطوة 6

لنفترض أن $u = \sec (t)$ . إذن $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ ، لذا $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u = \sec (t)$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

خطوة 6.1.2

مشتق $\sec (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

خطوة 7

اضرب $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة $- 1 u^{2}$ بالصيغة $- u^{2}$ .

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

خطوة 8.2

اضرب $u^{2}$ في $u^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

خطوة 8.2.2

أضف $2$ و $2$ .

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

خطوة 9

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

خطوة 10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

خطوة 12

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{4}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

خطوة 13.2

بسّط.

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

خطوة 14

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sec (t)$ .

$- \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + \frac{1}{5} \sec^{5} (t) + C$

خطوة 14.2

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arctan (x)$ .

$- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (x)) + C$