حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\int \sqrt{{(25 - x^{2})}^{1}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $x = 5 \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = 5 \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $5 \cos (t)$ موجبة.

$\int \sqrt{{(25 - {(5 \sin (t))}^{2})}^{1}} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط $\sqrt{{(25 - {(5 \sin (t))}^{2})}^{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $5 \sin (t)$ .

$\int \sqrt{{(25 - (5^{2} \sin^{2} (t)))}^{1}} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.1.2

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$\int \sqrt{{(25 - (25 \sin^{2} (t)))}^{1}} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.1.3

اضرب $25$ في $- 1$ .

$\int \sqrt{{(25 - 25 \sin^{2} (t))}^{1}} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $25$ من $25$ .

$\int \sqrt{{(25 (1) - 25 \sin^{2} (t))}^{1}} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.3

أخرِج العامل $25$ من $- 25 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{{(25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t)))}^{1}} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.4

أخرِج العامل $25$ من $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{{(25 (1 - \sin^{2} (t)))}^{1}} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \sqrt{{(25 \cos^{2} (t))}^{1}} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.6

بسّط.

$\int \sqrt{25 \cos^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.7

أعِد كتابة $25 \cos^{2} (t)$ بالصيغة ${(5 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(5 \cos (t))}^{2}} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int 5 \cos (t) (5 \cos (t)) d t$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اضرب $5$ في $5$ .

$\int 25 \cos (t) \cos (t) d t$

خطوة 3.2.2

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int 25 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

خطوة 3.2.3

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int 25 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

خطوة 3.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 25 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

خطوة 3.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\int 25 \cos^{2} (t) d t$

خطوة 4

بما أن $25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $25$ خارج التكامل.

$25 \int \cos^{2} (t) d t$

خطوة 5

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (t)$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$25 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$25 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

خطوة 7

اجمع $\frac{1}{2}$ و $25$ .

$\frac{25}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 8

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{25}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

خطوة 9

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{25}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

خطوة 10

لنفترض أن $u = 2 t$ . إذن $d u = 2 d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

افترض أن $u = 2 t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أوجِد مشتقة $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

خطوة 10.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 10.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 10.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 10.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{25}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

خطوة 11

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{25}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

خطوة 12

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{25}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

خطوة 13

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{25}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

خطوة 14

بسّط.

$\frac{25}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

خطوة 15

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (\frac{x}{5})$ .

$\frac{25}{2} (\arcsin (\frac{x}{5}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

خطوة 15.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 t$ .

$\frac{25}{2} (\arcsin (\frac{x}{5}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

خطوة 15.3

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (\frac{x}{5})$ .

$\frac{25}{2} (\arcsin (\frac{x}{5}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{5}))) + C$

خطوة 16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (2 \arcsin (\frac{x}{5}))$ .

$\frac{25}{2} (\arcsin (\frac{x}{5}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{5}))}{2}) + C$

خطوة 16.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{25}{2} \arcsin (\frac{x}{5}) + \frac{25}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{5}))}{2} + C$

خطوة 16.3

اجمع $\frac{25}{2}$ و $\arcsin (\frac{x}{5})$ .

$\frac{25 \arcsin (\frac{x}{5})}{2} + \frac{25}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{5}))}{2} + C$

خطوة 16.4

اضرب $\frac{25}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{5}))}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.4.1

اضرب $\frac{25}{2}$ في $\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{5}))}{2}$ .

$\frac{25 \arcsin (\frac{x}{5})}{2} + \frac{25 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{5}))}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 16.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{25 \arcsin (\frac{x}{5})}{2} + \frac{25 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{5}))}{4} + C$

خطوة 17

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{25}{2} \arcsin (\frac{1}{5} x) + \frac{25}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{5} x)) + C$