حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{i = 1}^{50} (2 i - 1) (2 i + 1)$

خطوة 1

بسّط المجموع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وسّع $(2 i - 1) (2 i + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 i (2 i + 1) - 1 (2 i + 1)$

خطوة 1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 i (2 i) + 2 i \cdot 1 - 1 (2 i + 1)$

خطوة 1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 i (2 i) + 2 i \cdot 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot 1$

خطوة 1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 i (2 i) + 2 i \cdot 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $2 i \cdot 1$ و $- 1 (2 i)$ .

$2 i (2 i) + 1 \cdot 2 i - 1 \cdot 2 i - 1 \cdot 1$

خطوة 1.2.2

اطرح $2 i$ من $1 \cdot 2 i$ .

$2 i (2 i) + 0 - 1 \cdot 1$

خطوة 1.2.3

أضف $2 i (2 i)$ و $0$ .

$2 i (2 i) - 1 \cdot 1$

خطوة 1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 \cdot 2 i \cdot i - 1 \cdot 1$

خطوة 1.3.2

اضرب $i$ في $i$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

انقُل $i$ .

$2 \cdot 2 (i \cdot i) - 1 \cdot 1$

خطوة 1.3.2.2

اضرب $i$ في $i$ .

$2 \cdot 2 i^{2} - 1 \cdot 1$

خطوة 1.3.3

اضرب $2$ في $2$ .

$4 i^{2} - 1 \cdot 1$

خطوة 1.3.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$4 i^{2} - 1$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المجموع.

$\sum_{i = 1}^{50} 4 i^{2} - 1$

خطوة 2

قسّم المجموع إلى مجاميع أصغر تتناسب مع قواعد الجمع.

$\sum_{i = 1}^{50} 4 i^{2} - 1 = 4 \sum_{i = 1}^{50} i^{2} + \sum_{i = 1}^{50} - 1$

خطوة 3

احسِب قيمة $4 \sum_{i = 1}^{50} i^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $2$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

خطوة 3.2

عوّض بالقيم في القاعدة وتأكد من الضرب في الحد الأمامي.

$(4) (\frac{50 (50 + 1) (2 \cdot 50 + 1)}{6})$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أضف $50$ و $1$ .

$4 \frac{50 \cdot 51 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

خطوة 3.3.1.2

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

اضرب $50$ في $51$ .

$4 \frac{2550 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

خطوة 3.3.1.2.2

اضرب $2$ في $50$ .

$4 \frac{2550 (100 + 1)}{6}$

خطوة 3.3.1.3

أضف $100$ و $1$ .

$4 \frac{2550 \cdot 101}{6}$

خطوة 3.3.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اضرب $2550$ في $101$ .

$4 (\frac{257550}{6})$

خطوة 3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$2 (2) \frac{257550}{6}$

خطوة 3.3.2.2.2

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$2 \cdot 2 \frac{257550}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.3.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 2 \frac{257550}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.3.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$2 (\frac{257550}{3})$

خطوة 3.3.2.3

اجمع $2$ و $\frac{257550}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 257550}{3}$

خطوة 3.3.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.1

اضرب $2$ في $257550$ .

$\frac{515100}{3}$

خطوة 3.3.2.4.2

اقسِم $515100$ على $3$ .

$171700$

خطوة 4

احسِب قيمة $\sum_{i = 1}^{50} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

صيغة جمع الثابت هي:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

خطوة 4.2

عوّض بالقيم في القاعدة.

$(- 1) (50)$

خطوة 4.3

اضرب $- 1$ في $50$ .

$- 50$

خطوة 5

أضف نتائج المجاميع.

$171700 - 50$

خطوة 6

اطرح $50$ من $171700$ .

$171650$