حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{- k}^{k} \sqrt{k^{2} - x^{2}} d x$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{k^{2} - x^{2}}$ في صورة ${(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

خطوة 2

قسّم التكامل إلى تكاملين بهما $c$ هو قيمة ما بين $- k$ و $k$ .

$\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x + \int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x + \int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$ بالنسبة إلى $k$ هو $\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x] + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$ .

$\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x] + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

خطوة 4

بدّل حدود التكامل.

$\frac{d}{d k} [- \int_{c}^{- k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x] + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

خطوة 5

خُذ مشتق $- \int_{c}^{- k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$ بالنسبة إلى $k$ باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل وقاعدة السلسلة.

$\frac{d}{d k} [- k] (- {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

خطوة 6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $k$ ، إذن مشتق $- k$ بالنسبة إلى $k$ يساوي $- \frac{d}{d k} [k]$ .

$- \frac{d}{d k} [k] (- {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

خطوة 6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ هو $n k^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 (- {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

خطوة 6.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- - {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

خطوة 7

خُذ مشتق $\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$ بالنسبة إلى $k$ باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل.

$- - {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 8

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- k$ .

$- - {(k^{2} - {(- (k))}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 8.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $- (k)$ .

$- - {(k^{2} - ({(- 1)}^{2} k^{2}))}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 8.2.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$- - {(k^{2} - (1 k^{2}))}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 8.2.3

اضرب $k^{2}$ في $1$ .

$- - {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 8.3

اطرح $k^{2}$ من $k^{2}$ .

$- - 0^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 8.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$- - {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 8.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- - 0^{2 (\frac{1}{2})} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 8.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$- - 0^{2 (\frac{1}{2})} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 8.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$- - 0^{1} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 8.6

احسِب قيمة الأُس.

$- - 0 + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 8.7

اضرب العدد في صفر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.7.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- 0 + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 8.7.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$0 + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 8.8

اطرح $k^{2}$ من $k^{2}$ .

$0 + 0^{\frac{1}{2}}$

خطوة 8.9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.9.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$0 + {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 8.9.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 0^{2 (\frac{1}{2})}$

خطوة 8.10

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.10.1

ألغِ العامل المشترك.

$0 + 0^{2 (\frac{1}{2})}$

خطوة 8.10.2

أعِد كتابة العبارة.

$0 + 0^{1}$

خطوة 8.11

احسِب قيمة الأُس.

$0 + 0$

خطوة 8.12

أضف $0$ و $0$ .

$0$