حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{- 1.5 x^{2}}$

خطوة 1

اكتب $e^{- 1.5 x^{2}}$ في صورة دالة.

$f (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - 1.5 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- 1.5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

خطوة 2.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

خطوة 2.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 1.5 x^{2}$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $- 1.5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 1.5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 1.5 (2 x))$

خطوة 2.1.2.3

اضرب $2$ في $- 1.5$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 3 x)$

خطوة 2.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{- 1.5 x^{2}} (- 3 x)$ .

$- 3 e^{- 1.5 x^{2}} x$

خطوة 2.1.3.2

أعِد ترتيب العوامل في $- 3 e^{- 1.5 x^{2}} x$ .

$f' (x) = - 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x e^{- 1.5 x^{2}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x e^{- 1.5 x^{2}}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$ .

$- 3 (x \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x^{2}}] + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.3

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- 1.5 x^{2}$ .

$- 3 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]) + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$- 3 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]) + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 1.5 x^{2}$ .

$- 3 (x (e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]) + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

بما أن $- 1.5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 1.5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 (x (e^{- 1.5 x^{2}} (- 1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 3 (x (e^{- 1.5 x^{2}} (- 1.5 (2 x))) + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.4.3

اضرب $2$ في $- 1.5$ .

$- 3 (x (e^{- 1.5 x^{2}} (- 3 x)) + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 3 (x^{1} x (e^{- 1.5 x^{2}} \cdot (- 3)) + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 3 (x^{1} x^{1} (e^{- 1.5 x^{2}} \cdot (- 3)) + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 3 (x^{1 + 1} (e^{- 1.5 x^{2}} \cdot (- 3)) + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.1

أضف $1$ و $1$ .

$- 3 (x^{2} (e^{- 1.5 x^{2}} \cdot (- 3)) + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.8.2

انقُل $- 3$ إلى يسار $e^{- 1.5 x^{2}}$ .

$- 3 (x^{2} (- 3 \cdot e^{- 1.5 x^{2}}) + e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 3 (x^{2} (- 3 e^{- 1.5 x^{2}}) + e^{- 1.5 x^{2}} \cdot 1)$

خطوة 2.2.10

اضرب $e^{- 1.5 x^{2}}$ في $1$ .

$- 3 (x^{2} (- 3 e^{- 1.5 x^{2}}) + e^{- 1.5 x^{2}})$

خطوة 2.2.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 3 (x^{2} (- 3 e^{- 1.5 x^{2}})) - 3 e^{- 1.5 x^{2}}$

خطوة 2.2.11.2

اضرب $- 3$ في $- 3$ .

$9 x^{2} e^{- 1.5 x^{2}} - 3 e^{- 1.5 x^{2}}$

خطوة 2.2.11.3

أعِد ترتيب الحدود.

$9 e^{- 1.5 x^{2}} x^{2} - 3 e^{- 1.5 x^{2}}$

خطوة 2.2.11.4

أعِد ترتيب العوامل في $9 e^{- 1.5 x^{2}} x^{2} - 3 e^{- 1.5 x^{2}}$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} e^{- 1.5 x^{2}} - 3 e^{- 1.5 x^{2}}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $9 x^{2} e^{- 1.5 x^{2}} - 3 e^{- 1.5 x^{2}}$ .

$9 x^{2} e^{- 1.5 x^{2}} - 3 e^{- 1.5 x^{2}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $9 x^{2} e^{- 1.5 x^{2}} - 3 e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$9 x^{2} e^{- 1.5 x^{2}} - 3 e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

خطوة 3.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $3 e^{- 1.5 x^{2}}$ من $9 x^{2} e^{- 1.5 x^{2}} - 3 e^{- 1.5 x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

أخرِج العامل $3 e^{- 1.5 x^{2}}$ من $9 x^{2} e^{- 1.5 x^{2}}$ .

$3 e^{- 1.5 x^{2}} (3 x^{2}) - 3 e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

خطوة 3.2.1.2

أخرِج العامل $3 e^{- 1.5 x^{2}}$ من $- 3 e^{- 1.5 x^{2}}$ .

$3 e^{- 1.5 x^{2}} (3 x^{2}) + 3 e^{- 1.5 x^{2}} (- 1) = 0$

خطوة 3.2.1.3

أخرِج العامل $3 e^{- 1.5 x^{2}}$ من $3 e^{- 1.5 x^{2}} (3 x^{2}) + 3 e^{- 1.5 x^{2}} (- 1)$ .

$3 e^{- 1.5 x^{2}} (3 x^{2} - 1) = 0$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة $3 x^{2}$ بالصيغة ${(1.7320508 x)}^{2}$ .

$3 e^{- 1.5 x^{2}} ({(1.7320508 x)}^{2} - 1) = 0$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$3 e^{- 1.5 x^{2}} ({(1.7320508 x)}^{2} - 1^{2}) = 0$

خطوة 3.2.4

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1.7320508 x$ و $b = 1$ .

$3 e^{- 1.5 x^{2}} ((1.7320508 x + 1) (1.7320508 x - 1)) = 0$

خطوة 3.2.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$3 e^{- 1.5 x^{2}} (1.7320508 x + 1) (1.7320508 x - 1) = 0$

خطوة 3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

$1.7320508 x + 1 = 0$

$1.7320508 x - 1 = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $e^{- 1.5 x^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $e^{- 1.5 x^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

خطوة 3.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{- 1.5 x^{2}}) = \ln (0)$

خطوة 3.4.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 3.4.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $1.7320508 x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $1.7320508 x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$1.7320508 x + 1 = 0$

خطوة 3.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $1.7320508 x + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$1.7320508 x = - 1$

خطوة 3.5.2.2

اقسِم كل حد في $1.7320508 x = - 1$ على $1.7320508$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $1.7320508 x = - 1$ على $1.7320508$ .

$\frac{1.7320508 x}{1.7320508} = \frac{- 1}{1.7320508}$

خطوة 3.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1.7320508$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1.7320508 x}{1.7320508} = \frac{- 1}{1.7320508}$

خطوة 3.5.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 1}{1.7320508}$

خطوة 3.5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.3.1

اقسِم $- 1$ على $1.7320508$ .

$x = - 0.57735026$

خطوة 3.6

عيّن قيمة العبارة $1.7320508 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

عيّن قيمة $1.7320508 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$1.7320508 x - 1 = 0$

خطوة 3.6.2

أوجِد قيمة $x$ في $1.7320508 x - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$1.7320508 x = 1$

خطوة 3.6.2.2

اقسِم كل حد في $1.7320508 x = 1$ على $1.7320508$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.2.1

اقسِم كل حد في $1.7320508 x = 1$ على $1.7320508$ .

$\frac{1.7320508 x}{1.7320508} = \frac{1}{1.7320508}$

خطوة 3.6.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1.7320508$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1.7320508 x}{1.7320508} = \frac{1}{1.7320508}$

خطوة 3.6.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{1}{1.7320508}$

خطوة 3.6.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.2.3.1

اقسِم $1$ على $1.7320508$ .

$x = 0.57735026$

خطوة 3.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $3 e^{- 1.5 x^{2}} (1.7320508 x + 1) (1.7320508 x - 1) = 0$ صحيحة.

$x = - 0.57735026, 0.57735026$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $- 0.57735026$ في $f (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.57735026$ في العبارة.

$f (- 0.57735026) = e^{- 1.5 {(- 0.57735026)}^{2}}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

ارفع $- 0.57735026$ إلى القوة $2$ .

$f (- 0.57735026) = e^{- 1.5 \cdot 0.\overline{3}}$

خطوة 4.1.2.2

اضرب $- 1.5$ في $0.\overline{3}$ .

$f (- 0.57735026) = e^{- 0.4\overline{9}}$

خطوة 4.1.2.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 0.57735026) = \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}}$

خطوة 4.1.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{e^{0.4\overline{9}}}$ .

$\frac{1}{e^{0.4\overline{9}}}$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 0.57735026$ في $f (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$ هي $(- 0.57735026, \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 0.57735026, \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}})$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $0.57735026$ في $f (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.57735026$ في العبارة.

$f (0.57735026) = e^{- 1.5 {(0.57735026)}^{2}}$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

ارفع $0.57735026$ إلى القوة $2$ .

$f (0.57735026) = e^{- 1.5 \cdot 0.\overline{3}}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $- 1.5$ في $0.\overline{3}$ .

$f (0.57735026) = e^{- 0.4\overline{9}}$

خطوة 4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (0.57735026) = \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}}$

خطوة 4.3.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{e^{0.4\overline{9}}}$ .

$\frac{1}{e^{0.4\overline{9}}}$

خطوة 4.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0.57735026$ في $f (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$ هي $(0.57735026, \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0.57735026, \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}})$

خطوة 4.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(- 0.57735026, \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}}), (0.57735026, \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}})$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 0.57735026) \cup (- 0.57735026, 0.57735026) \cup (0.57735026, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 0.57735026)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.67735026$ في العبارة.

$f'' (- 0.67735026) = 9 {(- 0.67735026)}^{2} e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}} - 3 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 0.67735026$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 0.67735026) = 9 \cdot (0.45880338 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}}) - 3 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $9$ في $0.45880338$ .

$f'' (- 0.67735026) = 4.12923048 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}} - 3 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $- 0.67735026$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 0.67735026) = 4.12923048 e^{- 1.5 \cdot 0.45880338} - 3 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $- 1.5$ في $0.45880338$ .

$f'' (- 0.67735026) = 4.12923048 e^{- 0.68820508} - 3 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.5

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.67735026) = 4.12923048 (\frac{1}{e^{0.68820508}}) - 3 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.6

اجمع $4.12923048$ و $\frac{1}{e^{0.68820508}}$ .

$f'' (- 0.67735026) = \frac{4.12923048}{e^{0.68820508}} - 3 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.7

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f'' (- 0.67735026) = \frac{4.12923048}{{2.71828182}^{0.68820508}} - 3 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.8

ارفع $2.71828182$ إلى القوة $0.68820508$ .

$f'' (- 0.67735026) = \frac{4.12923048}{1.99014018} - 3 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.9

اقسِم $4.12923048$ على $1.99014018$ .

$f'' (- 0.67735026) = 2.07484403 - 3 e^{- 1.5 {(- 0.67735026)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.10

ارفع $- 0.67735026$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 0.67735026) = 2.07484403 - 3 e^{- 1.5 \cdot 0.45880338}$

خطوة 6.2.1.11

اضرب $- 1.5$ في $0.45880338$ .

$f'' (- 0.67735026) = 2.07484403 - 3 e^{- 0.68820508}$

خطوة 6.2.1.12

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.67735026) = 2.07484403 - 3 \frac{1}{e^{0.68820508}}$

خطوة 6.2.1.13

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{e^{0.68820508}}$ .

$f'' (- 0.67735026) = 2.07484403 + \frac{- 3}{e^{0.68820508}}$

خطوة 6.2.1.14

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- 0.67735026) = 2.07484403 - \frac{3}{e^{0.68820508}}$

خطوة 6.2.1.15

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f'' (- 0.67735026) = 2.07484403 - \frac{3}{{2.71828182}^{0.68820508}}$

خطوة 6.2.1.16

ارفع $2.71828182$ إلى القوة $0.68820508$ .

$f'' (- 0.67735026) = 2.07484403 - \frac{3}{1.99014018}$

خطوة 6.2.1.17

اقسِم $3$ على $1.99014018$ .

$f'' (- 0.67735026) = 2.07484403 - 1 \cdot 1.50743149$

خطوة 6.2.1.18

اضرب $- 1$ في $1.50743149$ .

$f'' (- 0.67735026) = 2.07484403 - 1.50743149$

خطوة 6.2.2

اطرح $1.50743149$ من $2.07484403$ .

$f'' (- 0.67735026) = 0.56741253$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $0.56741253$ .

$0.56741253$

خطوة 6.3

في $- 0.67735026$ ، المشتق الثاني هو $0.56741253$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, - 0.57735026)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 0.57735026)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 0.57735026, 0.57735026)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = 9 {(0)}^{2} e^{- 1.5 {(0)}^{2}} - 3 e^{- 1.5 {(0)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = 9 \cdot (0 e^{- 1.5 {(0)}^{2}}) - 3 e^{- 1.5 {(0)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $9$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- 1.5 {(0)}^{2}} - 3 e^{- 1.5 {(0)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = 0 e^{- 1.5 \cdot 0} - 3 e^{- 1.5 {(0)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.4

اضرب $- 1.5$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{0} - 3 e^{- 1.5 {(0)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.5

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - 3 e^{- 1.5 {(0)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.6

اضرب $0$ في $1$ .

$f'' (0) = 0 - 3 e^{- 1.5 {(0)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.7

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = 0 - 3 e^{- 1.5 \cdot 0}$

خطوة 7.2.1.8

اضرب $- 1.5$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 - 3 e^{0}$

خطوة 7.2.1.9

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$f'' (0) = 0 - 3 \cdot 1$

خطوة 7.2.1.10

اضرب $- 3$ في $1$ .

$f'' (0) = 0 - 3$

خطوة 7.2.2

اطرح $3$ من $0$ .

$f'' (0) = - 3$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 3$ .

$- 3$

خطوة 7.3

المشتق الثاني عند $0$ يساوي $- 3$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- 0.57735026, 0.57735026)$

تناقص خلال $(- 0.57735026, 0.57735026)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(0.57735026, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.67735026$ في العبارة.

$f'' (0.67735026) = 9 {(0.67735026)}^{2} e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}} - 3 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $0.67735026$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.67735026) = 9 \cdot (0.45880338 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}}) - 3 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $9$ في $0.45880338$ .

$f'' (0.67735026) = 4.12923048 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}} - 3 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.3

ارفع $0.67735026$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.67735026) = 4.12923048 e^{- 1.5 \cdot 0.45880338} - 3 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.4

اضرب $- 1.5$ في $0.45880338$ .

$f'' (0.67735026) = 4.12923048 e^{- 0.68820508} - 3 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.5

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.67735026) = 4.12923048 (\frac{1}{e^{0.68820508}}) - 3 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.6

اجمع $4.12923048$ و $\frac{1}{e^{0.68820508}}$ .

$f'' (0.67735026) = \frac{4.12923048}{e^{0.68820508}} - 3 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.7

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f'' (0.67735026) = \frac{4.12923048}{{2.71828182}^{0.68820508}} - 3 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.8

ارفع $2.71828182$ إلى القوة $0.68820508$ .

$f'' (0.67735026) = \frac{4.12923048}{1.99014018} - 3 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.9

اقسِم $4.12923048$ على $1.99014018$ .

$f'' (0.67735026) = 2.07484403 - 3 e^{- 1.5 {(0.67735026)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.10

ارفع $0.67735026$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.67735026) = 2.07484403 - 3 e^{- 1.5 \cdot 0.45880338}$

خطوة 8.2.1.11

اضرب $- 1.5$ في $0.45880338$ .

$f'' (0.67735026) = 2.07484403 - 3 e^{- 0.68820508}$

خطوة 8.2.1.12

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.67735026) = 2.07484403 - 3 \frac{1}{e^{0.68820508}}$

خطوة 8.2.1.13

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{e^{0.68820508}}$ .

$f'' (0.67735026) = 2.07484403 + \frac{- 3}{e^{0.68820508}}$

خطوة 8.2.1.14

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (0.67735026) = 2.07484403 - \frac{3}{e^{0.68820508}}$

خطوة 8.2.1.15

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f'' (0.67735026) = 2.07484403 - \frac{3}{{2.71828182}^{0.68820508}}$

خطوة 8.2.1.16

ارفع $2.71828182$ إلى القوة $0.68820508$ .

$f'' (0.67735026) = 2.07484403 - \frac{3}{1.99014018}$

خطوة 8.2.1.17

اقسِم $3$ على $1.99014018$ .

$f'' (0.67735026) = 2.07484403 - 1 \cdot 1.50743149$

خطوة 8.2.1.18

اضرب $- 1$ في $1.50743149$ .

$f'' (0.67735026) = 2.07484403 - 1.50743149$

خطوة 8.2.2

اطرح $1.50743149$ من $2.07484403$ .

$f'' (0.67735026) = 0.56741253$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $0.56741253$ .

$0.56741253$

خطوة 8.3

في $0.67735026$ ، المشتق الثاني هو $0.56741253$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(0.57735026, \infty)$ .

تزايد خلال $(0.57735026, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 9

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(- 0.57735026, \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}}), (0.57735026, \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}})$ .

$(- 0.57735026, \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}}), (0.57735026, \frac{1}{e^{0.4\overline{9}}})$

خطوة 10