حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$

خطوة 1

اكتب ${(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$ في صورة دالة.

$f (x) = {(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق ${(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{5}$ و $g (x) = x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.1.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.1.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.1.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 {(x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.1.2.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.1.2.5

أضف $1$ و $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.1.2.6

اضرب $5$ في $1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $- 5$ في $1$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 + 0$

خطوة 2.1.4.2

أضف $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ و $0$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 {(x + 1)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 1)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 2.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 {(x + 1)}^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 {(x + 1)}^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 1$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 2.2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$5 (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 2.2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$5 (4 {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 2.2.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 (4 {(x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 2.2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 (4 {(x + 1)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 2.2.2.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$5 (4 {(x + 1)}^{3} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 2.2.2.6

أضف $1$ و $0$ .

$5 (4 {(x + 1)}^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 2.2.2.7

اضرب $4$ في $1$ .

$5 (4 {(x + 1)}^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 2.2.2.8

اضرب $4$ في $5$ .

$20 {(x + 1)}^{3} + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$20 {(x + 1)}^{3} + 0$

خطوة 2.2.3.2

أضف $20 {(x + 1)}^{3}$ و $0$ .

$f'' (x) = 20 {(x + 1)}^{3}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $20 {(x + 1)}^{3}$ .

$20 {(x + 1)}^{3}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $20 {(x + 1)}^{3} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$20 {(x + 1)}^{3} = 0$

خطوة 3.2

اقسِم كل حد في $20 {(x + 1)}^{3} = 0$ على $20$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اقسِم كل حد في $20 {(x + 1)}^{3} = 0$ على $20$ .

$\frac{20 {(x + 1)}^{3}}{20} = \frac{0}{20}$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $20$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{20 {(x + 1)}^{3}}{20} = \frac{0}{20}$

خطوة 3.2.2.1.2

اقسِم ${(x + 1)}^{3}$ على $1$ .

${(x + 1)}^{3} = \frac{0}{20}$

خطوة 3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

اقسِم $0$ على $20$ .

${(x + 1)}^{3} = 0$

خطوة 3.3

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 3.4

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $- 1$ في $f (x) = {(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = {((- 1) + 1)}^{5} - 5 \cdot - 1 - 2$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$f (- 1) = 0^{5} - 5 \cdot - 1 - 2$

خطوة 4.1.2.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (- 1) = 0 - 5 \cdot - 1 - 2$

خطوة 4.1.2.1.3

اضرب $- 5$ في $- 1$ .

$f (- 1) = 0 + 5 - 2$

خطوة 4.1.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

أضف $0$ و $5$ .

$f (- 1) = 5 - 2$

خطوة 4.1.2.2.2

اطرح $2$ من $5$ .

$f (- 1) = 3$

خطوة 4.1.2.3

الإجابة النهائية هي $3$ .

$3$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 1$ في $f (x) = {(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$ هي $(- 1, 3)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 1, 3)$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 1)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.1$ في العبارة.

$f'' (- 1.1) = 20 {((- 1.1) + 1)}^{3}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أضف $- 1.1$ و $1$ .

$f'' (- 1.1) = 20 {(- 0.1)}^{3}$

خطوة 6.2.2

ارفع $- 0.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 1.1) = 20 \cdot - 0.001$

خطوة 6.2.3

اضرب $20$ في $- 0.001$ .

$f'' (- 1.1) = - 0.02$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $- 0.02$ .

$- 0.02$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 1.1$ يساوي $- 0.02$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, - 1)$

تناقص خلال $(- \infty, - 1)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.9$ في العبارة.

$f'' (- 0.9) = 20 {((- 0.9) + 1)}^{3}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أضف $- 0.9$ و $1$ .

$f'' (- 0.9) = 20 \cdot {0.1}^{3}$

خطوة 7.2.2

ارفع $0.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 0.9) = 20 \cdot 0.001$

خطوة 7.2.3

اضرب $20$ في $0.001$ .

$f'' (- 0.9) = 0.02$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $0.02$ .

$0.02$

خطوة 7.3

في $- 0.9$ ، المشتق الثاني هو $0.02$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- 1, \infty)$ .

تزايد خلال $(- 1, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(- 1, 3)$ .

$(- 1, 3)$

خطوة 9