حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 x^{6} + 9 x^{5} + 10 x^{4} - x + 2$

خطوة 1

اكتب $2 x^{6} + 9 x^{5} + 10 x^{4} - x + 2$ في صورة دالة.

$f (x) = 2 x^{6} + 9 x^{5} + 10 x^{4} - x + 2$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{6} + 9 x^{5} + 10 x^{4} - x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{6}] + \frac{d}{d x} [9 x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{6}] + \frac{d}{d x} [9 x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{6}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{6}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [9 x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 6$ .

$2 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [9 x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.2.3

اضرب $6$ في $2$ .

$12 x^{5} + \frac{d}{d x} [9 x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [9 x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$12 x^{5} + 9 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$12 x^{5} + 9 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $5$ في $9$ .

$12 x^{5} + 45 x^{4} + \frac{d}{d x} [10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [10 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $10 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $10 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$12 x^{5} + 45 x^{4} + 10 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$12 x^{5} + 45 x^{4} + 10 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.4.3

اضرب $4$ في $10$ .

$12 x^{5} + 45 x^{4} + 40 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{5} + 45 x^{4} + 40 x^{3} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$12 x^{5} + 45 x^{4} + 40 x^{3} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.5.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$12 x^{5} + 45 x^{4} + 40 x^{3} - 1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 2.1.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$12 x^{5} + 45 x^{4} + 40 x^{3} - 1 + 0$

خطوة 2.1.6.2

أضف $12 x^{5} + 45 x^{4} + 40 x^{3} - 1$ و $0$ .

$f' (x) = 12 x^{5} + 45 x^{4} + 40 x^{3} - 1$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $12 x^{5} + 45 x^{4} + 40 x^{3} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [12 x^{5}] + \frac{d}{d x} [45 x^{4}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{5}] + \frac{d}{d x} [45 x^{4}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [45 x^{4}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$12 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [45 x^{4}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.2.3

اضرب $5$ في $12$ .

$60 x^{4} + \frac{d}{d x} [45 x^{4}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [45 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بما أن $45$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $45 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $45 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$60 x^{4} + 45 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$60 x^{4} + 45 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.3.3

اضرب $4$ في $45$ .

$60 x^{4} + 180 x^{3} + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [40 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

بما أن $40$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $40 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$60 x^{4} + 180 x^{3} + 40 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$60 x^{4} + 180 x^{3} + 40 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.4.3

اضرب $3$ في $40$ .

$60 x^{4} + 180 x^{3} + 120 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 2.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$60 x^{4} + 180 x^{3} + 120 x^{2} + 0$

خطوة 2.2.5.2

أضف $60 x^{4} + 180 x^{3} + 120 x^{2}$ و $0$ .

$f'' (x) = 60 x^{4} + 180 x^{3} + 120 x^{2}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $60 x^{4} + 180 x^{3} + 120 x^{2}$ .

$60 x^{4} + 180 x^{3} + 120 x^{2}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $60 x^{4} + 180 x^{3} + 120 x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$60 x^{4} + 180 x^{3} + 120 x^{2} = 0$

خطوة 3.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $60 x^{2}$ من $60 x^{4} + 180 x^{3} + 120 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

أخرِج العامل $60 x^{2}$ من $60 x^{4}$ .

$60 x^{2} (x^{2}) + 180 x^{3} + 120 x^{2} = 0$

خطوة 3.2.1.2

أخرِج العامل $60 x^{2}$ من $180 x^{3}$ .

$60 x^{2} (x^{2}) + 60 x^{2} (3 x) + 120 x^{2} = 0$

خطوة 3.2.1.3

أخرِج العامل $60 x^{2}$ من $120 x^{2}$ .

$60 x^{2} (x^{2}) + 60 x^{2} (3 x) + 60 x^{2} (2) = 0$

خطوة 3.2.1.4

أخرِج العامل $60 x^{2}$ من $60 x^{2} (x^{2}) + 60 x^{2} (3 x)$ .

$60 x^{2} (x^{2} + 3 x) + 60 x^{2} (2) = 0$

خطوة 3.2.1.5

أخرِج العامل $60 x^{2}$ من $60 x^{2} (x^{2} + 3 x) + 60 x^{2} (2)$ .

$60 x^{2} (x^{2} + 3 x + 2) = 0$

خطوة 3.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

حلّل $x^{2} + 3 x + 2$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $2$ ومجموعهما $3$ .

$1, 2$

خطوة 3.2.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$60 x^{2} ((x + 1) (x + 2)) = 0$

خطوة 3.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$60 x^{2} (x + 1) (x + 2) = 0$

خطوة 3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} = 0$

خطوة 3.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 3.4.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 3.4.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 3.4.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 3.5.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 3.6

عيّن قيمة العبارة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 3.6.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 3.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $60 x^{2} (x + 1) (x + 2) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 1, - 2$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = 2 x^{6} + 9 x^{5} + 10 x^{4} - x + 2$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = 2 {(0)}^{6} + 9 {(0)}^{5} + 10 {(0)}^{4} - (0) + 2$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 2 \cdot 0 + 9 {(0)}^{5} + 10 {(0)}^{4} - (0) + 2$

خطوة 4.1.2.1.2

اضرب $2$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 9 {(0)}^{5} + 10 {(0)}^{4} - (0) + 2$

خطوة 4.1.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 + 9 \cdot 0 + 10 {(0)}^{4} - (0) + 2$

خطوة 4.1.2.1.4

اضرب $9$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 10 {(0)}^{4} - (0) + 2$

خطوة 4.1.2.1.5

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 + 0 + 10 \cdot 0 - (0) + 2$

خطوة 4.1.2.1.6

اضرب $10$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 - (0) + 2$

خطوة 4.1.2.1.7

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 0 + 2$

خطوة 4.1.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 2$

خطوة 4.1.2.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 2$

خطوة 4.1.2.2.3

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0 + 2$

خطوة 4.1.2.2.4

أضف $0$ و $2$ .

$f (0) = 2$

خطوة 4.1.2.3

الإجابة النهائية هي $2$ .

$2$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = 2 x^{6} + 9 x^{5} + 10 x^{4} - x + 2$ هي $(0, 2)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 2)$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $- 1$ في $f (x) = 2 x^{6} + 9 x^{5} + 10 x^{4} - x + 2$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{6} + 9 {(- 1)}^{5} + 10 {(- 1)}^{4} - (- 1) + 2$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $6$ .

$f (- 1) = 2 \cdot 1 + 9 {(- 1)}^{5} + 10 {(- 1)}^{4} - (- 1) + 2$

خطوة 4.3.2.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$f (- 1) = 2 + 9 {(- 1)}^{5} + 10 {(- 1)}^{4} - (- 1) + 2$

خطوة 4.3.2.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $5$ .

$f (- 1) = 2 + 9 \cdot - 1 + 10 {(- 1)}^{4} - (- 1) + 2$

خطوة 4.3.2.1.4

اضرب $9$ في $- 1$ .

$f (- 1) = 2 - 9 + 10 {(- 1)}^{4} - (- 1) + 2$

خطوة 4.3.2.1.5

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$f (- 1) = 2 - 9 + 10 \cdot 1 - (- 1) + 2$

خطوة 4.3.2.1.6

اضرب $10$ في $1$ .

$f (- 1) = 2 - 9 + 10 - (- 1) + 2$

خطوة 4.3.2.1.7

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (- 1) = 2 - 9 + 10 + 1 + 2$

خطوة 4.3.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

اطرح $9$ من $2$ .

$f (- 1) = - 7 + 10 + 1 + 2$

خطوة 4.3.2.2.2

أضف $- 7$ و $10$ .

$f (- 1) = 3 + 1 + 2$

خطوة 4.3.2.2.3

أضف $3$ و $1$ .

$f (- 1) = 4 + 2$

خطوة 4.3.2.2.4

أضف $4$ و $2$ .

$f (- 1) = 6$

خطوة 4.3.2.3

الإجابة النهائية هي $6$ .

$6$

خطوة 4.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 1$ في $f (x) = 2 x^{6} + 9 x^{5} + 10 x^{4} - x + 2$ هي $(- 1, 6)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 1, 6)$

خطوة 4.5

عوّض بقيمة $- 2$ في $f (x) = 2 x^{6} + 9 x^{5} + 10 x^{4} - x + 2$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f (- 2) = 2 {(- 2)}^{6} + 9 {(- 2)}^{5} + 10 {(- 2)}^{4} - (- 2) + 2$

خطوة 4.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $6$ .

$f (- 2) = 2 \cdot 64 + 9 {(- 2)}^{5} + 10 {(- 2)}^{4} - (- 2) + 2$

خطوة 4.5.2.1.2

اضرب $2$ في $64$ .

$f (- 2) = 128 + 9 {(- 2)}^{5} + 10 {(- 2)}^{4} - (- 2) + 2$

خطوة 4.5.2.1.3

ارفع $- 2$ إلى القوة $5$ .

$f (- 2) = 128 + 9 \cdot - 32 + 10 {(- 2)}^{4} - (- 2) + 2$

خطوة 4.5.2.1.4

اضرب $9$ في $- 32$ .

$f (- 2) = 128 - 288 + 10 {(- 2)}^{4} - (- 2) + 2$

خطوة 4.5.2.1.5

ارفع $- 2$ إلى القوة $4$ .

$f (- 2) = 128 - 288 + 10 \cdot 16 - (- 2) + 2$

خطوة 4.5.2.1.6

اضرب $10$ في $16$ .

$f (- 2) = 128 - 288 + 160 - (- 2) + 2$

خطوة 4.5.2.1.7

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$f (- 2) = 128 - 288 + 160 + 2 + 2$

خطوة 4.5.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.2.1

اطرح $288$ من $128$ .

$f (- 2) = - 160 + 160 + 2 + 2$

خطوة 4.5.2.2.2

أضف $- 160$ و $160$ .

$f (- 2) = 0 + 2 + 2$

خطوة 4.5.2.2.3

أضف $0$ و $2$ .

$f (- 2) = 2 + 2$

خطوة 4.5.2.2.4

أضف $2$ و $2$ .

$f (- 2) = 4$

خطوة 4.5.2.3

الإجابة النهائية هي $4$ .

$4$

خطوة 4.6

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 2$ في $f (x) = 2 x^{6} + 9 x^{5} + 10 x^{4} - x + 2$ هي $(- 2, 4)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 2, 4)$

خطوة 4.7

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, 2), (- 1, 6), (- 2, 4)$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 2)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2.1$ في العبارة.

$f'' (- 2.1) = 60 {(- 2.1)}^{4} + 180 {(- 2.1)}^{3} + 120 {(- 2.1)}^{2}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 2.1$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 2.1) = 60 \cdot 19.4481 + 180 {(- 2.1)}^{3} + 120 {(- 2.1)}^{2}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $60$ في $19.4481$ .

$f'' (- 2.1) = 1166.886 + 180 {(- 2.1)}^{3} + 120 {(- 2.1)}^{2}$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $- 2.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 2.1) = 1166.886 + 180 \cdot - 9.261 + 120 {(- 2.1)}^{2}$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $180$ في $- 9.261$ .

$f'' (- 2.1) = 1166.886 - 1666.98 + 120 {(- 2.1)}^{2}$

خطوة 6.2.1.5

ارفع $- 2.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 2.1) = 1166.886 - 1666.98 + 120 \cdot 4.41$

خطوة 6.2.1.6

اضرب $120$ في $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 1166.886 - 1666.98 + 529.2$

خطوة 6.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اطرح $1666.98$ من $1166.886$ .

$f'' (- 2.1) = - 500.094 + 529.2$

خطوة 6.2.2.2

أضف $- 500.094$ و $529.2$ .

$f'' (- 2.1) = 29.106$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $29.106$ .

$29.106$

خطوة 6.3

في $- 2.1$ ، المشتق الثاني هو $29.106$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, - 2)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 2)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 2, - 1)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{3}{2}$ في العبارة.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 60 {(- \frac{3}{2})}^{4} + 180 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 120 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 60 ({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4}) + 180 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 120 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 60 ({(- 1)}^{4} (\frac{3^{4}}{2^{4}})) + 180 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 120 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 60 (1 (\frac{3^{4}}{2^{4}})) + 180 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 120 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ في $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 60 (\frac{3^{4}}{2^{4}}) + 180 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 120 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.4

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 60 (\frac{81}{2^{4}}) + 180 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 120 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.5

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 60 (\frac{81}{16}) + 180 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 120 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.6.1

أخرِج العامل $4$ من $60$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (15) (\frac{81}{16}) + 180 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 120 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.6.2

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 \cdot (15 (\frac{81}{4 \cdot 4})) + 180 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 120 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.6.3

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 \cdot (15 (\frac{81}{4 \cdot 4})) + 180 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 120 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.6.4

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 15 (\frac{81}{4}) + 180 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 120 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.7

اجمع $15$ و $\frac{81}{4}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15 \cdot 81}{4} + 180 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 120 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.8

اضرب $15$ في $81$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{1215}{4} + 180 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 120 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.9

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.9.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{1215}{4} + 180 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) + 120 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.9.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{1215}{4} + 180 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) + 120 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.10

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{1215}{4} + 180 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 120 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.11

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{1215}{4} + 180 (- \frac{27}{2^{3}}) + 120 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.12

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{1215}{4} + 180 (- \frac{27}{8}) + 120 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.13

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.13.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{27}{8}$ إلى بسط الكسر.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{1215}{4} + 180 (\frac{- 27}{8}) + 120 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.13.2

أخرِج العامل $4$ من $180$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{1215}{4} + 4 (45) (\frac{- 27}{8}) + 120 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.13.3

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{1215}{4} + 4 \cdot (45 (\frac{- 27}{4 \cdot 2})) + 120 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.13.4

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{1215}{4} + 4 \cdot (45 (\frac{- 27}{4 \cdot 2})) + 120 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.13.5

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{1215}{4} + 45 (\frac{- 27}{2}) + 120 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.14

اجمع $45$ و $\frac{- 27}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{1215}{4} + \frac{45 \cdot - 27}{2} + 120 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.15

اضرب $45$ في $- 27$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{1215}{4} + \frac{- 1215}{2} + 120 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.16

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{1215}{4} - \frac{1215}{2} + 120 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.17

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.17.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{1215}{4} - \frac{1215}{2} + 120 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})$

خطوة 7.2.1.17.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{1215}{4} - \frac{1215}{2} + 120 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

خطوة 7.2.1.18

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{1215}{4} - \frac{1215}{2} + 120 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

خطوة 7.2.1.19

اضرب $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ في $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{1215}{4} - \frac{1215}{2} + 120 (\frac{3^{2}}{2^{2}})$

خطوة 7.2.1.20

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{1215}{4} - \frac{1215}{2} + 120 (\frac{9}{2^{2}})$

خطوة 7.2.1.21

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{1215}{4} - \frac{1215}{2} + 120 (\frac{9}{4})$

خطوة 7.2.1.22

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.22.1

أخرِج العامل $4$ من $120$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{1215}{4} - \frac{1215}{2} + 4 (30) (\frac{9}{4})$

خطوة 7.2.1.22.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{1215}{4} - \frac{1215}{2} + 4 \cdot (30 (\frac{9}{4}))$

خطوة 7.2.1.22.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{1215}{4} - \frac{1215}{2} + 30 \cdot 9$

خطوة 7.2.1.23

اضرب $30$ في $9$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{1215}{4} - \frac{1215}{2} + 270$

خطوة 7.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اضرب $\frac{1215}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{1215}{4} - (\frac{1215}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 270$

خطوة 7.2.2.2

اضرب $\frac{1215}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{1215}{4} - \frac{1215 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 270$

خطوة 7.2.2.3

اكتب $270$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{1215}{4} - \frac{1215 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{270}{1}$

خطوة 7.2.2.4

اضرب $\frac{270}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{1215}{4} - \frac{1215 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{270}{1} \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 7.2.2.5

اضرب $\frac{270}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{1215}{4} - \frac{1215 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{270 \cdot 4}{4}$

خطوة 7.2.2.6

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{1215}{4} - \frac{1215 \cdot 2}{4} + \frac{270 \cdot 4}{4}$

خطوة 7.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{1215 - 1215 \cdot 2 + 270 \cdot 4}{4}$

خطوة 7.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1

اضرب $- 1215$ في $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{1215 - 2430 + 270 \cdot 4}{4}$

خطوة 7.2.4.2

اضرب $270$ في $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{1215 - 2430 + 1080}{4}$

خطوة 7.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.5.1

اطرح $2430$ من $1215$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 1215 + 1080}{4}$

خطوة 7.2.5.2

أضف $- 1215$ و $1080$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 135}{4}$

خطوة 7.2.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{4}$

خطوة 7.2.6

الإجابة النهائية هي $- \frac{135}{4}$ .

$- \frac{135}{4}$

خطوة 7.3

المشتق الثاني عند $- \frac{3}{2}$ يساوي $- 33.75$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- 2, - 1)$

تناقص خلال $(- 2, - 1)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{1}{2}$ في العبارة.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 {(- \frac{1}{2})}^{4} + 180 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 120 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 ({(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) + 180 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 120 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 8.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 ({(- 1)}^{4} (\frac{1^{4}}{2^{4}})) + 180 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 120 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 8.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 (1 (\frac{1^{4}}{2^{4}})) + 180 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 120 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 8.2.1.3

اضرب $\frac{1^{4}}{2^{4}}$ في $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) + 180 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 120 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 8.2.1.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 (\frac{1}{2^{4}}) + 180 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 120 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 8.2.1.5

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 (\frac{1}{16}) + 180 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 120 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 8.2.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.6.1

أخرِج العامل $4$ من $60$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 (15) (\frac{1}{16}) + 180 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 120 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 8.2.1.6.2

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (15 (\frac{1}{4 \cdot 4})) + 180 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 120 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 8.2.1.6.3

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (15 (\frac{1}{4 \cdot 4})) + 180 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 120 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 8.2.1.6.4

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{4}) + 180 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 120 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 8.2.1.7

اجمع $15$ و $\frac{1}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{4} + 180 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 120 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 8.2.1.8

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.8.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{4} + 180 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) + 120 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 8.2.1.8.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{4} + 180 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) + 120 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 8.2.1.9

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{4} + 180 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) + 120 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 8.2.1.10

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{4} + 180 (- \frac{1}{2^{3}}) + 120 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 8.2.1.11

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{4} + 180 (- \frac{1}{8}) + 120 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 8.2.1.12

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.12.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{8}$ إلى بسط الكسر.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{4} + 180 (\frac{- 1}{8}) + 120 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 8.2.1.12.2

أخرِج العامل $4$ من $180$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{4} + 4 (45) (\frac{- 1}{8}) + 120 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 8.2.1.12.3

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{4} + 4 \cdot (45 (\frac{- 1}{4 \cdot 2})) + 120 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 8.2.1.12.4

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{4} + 4 \cdot (45 (\frac{- 1}{4 \cdot 2})) + 120 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 8.2.1.12.5

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{4} + 45 (\frac{- 1}{2}) + 120 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 8.2.1.13

اجمع $45$ و $\frac{- 1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{4} + \frac{45 \cdot - 1}{2} + 120 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 8.2.1.14

اضرب $45$ في $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{4} + \frac{- 45}{2} + 120 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 8.2.1.15

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{4} - \frac{45}{2} + 120 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 8.2.1.16

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.16.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{4} - \frac{45}{2} + 120 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})$

خطوة 8.2.1.16.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{4} - \frac{45}{2} + 120 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

خطوة 8.2.1.17

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{4} - \frac{45}{2} + 120 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

خطوة 8.2.1.18

اضرب $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ في $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{4} - \frac{45}{2} + 120 (\frac{1^{2}}{2^{2}})$

خطوة 8.2.1.19

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{4} - \frac{45}{2} + 120 (\frac{1}{2^{2}})$

خطوة 8.2.1.20

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{4} - \frac{45}{2} + 120 (\frac{1}{4})$

خطوة 8.2.1.21

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.21.1

أخرِج العامل $4$ من $120$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{4} - \frac{45}{2} + 4 (30) (\frac{1}{4})$

خطوة 8.2.1.21.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{4} - \frac{45}{2} + 4 \cdot (30 (\frac{1}{4}))$

خطوة 8.2.1.21.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{4} - \frac{45}{2} + 30$

خطوة 8.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

اضرب $\frac{45}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{4} - (\frac{45}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 30$

خطوة 8.2.2.2

اضرب $\frac{45}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{4} - \frac{45 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 30$

خطوة 8.2.2.3

اكتب $30$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{4} - \frac{45 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{30}{1}$

خطوة 8.2.2.4

اضرب $\frac{30}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{4} - \frac{45 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{30}{1} \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 8.2.2.5

اضرب $\frac{30}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{4} - \frac{45 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{30 \cdot 4}{4}$

خطوة 8.2.2.6

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{4} - \frac{45 \cdot 2}{4} + \frac{30 \cdot 4}{4}$

خطوة 8.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15 - 45 \cdot 2 + 30 \cdot 4}{4}$

خطوة 8.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.4.1

اضرب $- 45$ في $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15 - 90 + 30 \cdot 4}{4}$

خطوة 8.2.4.2

اضرب $30$ في $4$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15 - 90 + 120}{4}$

خطوة 8.2.5

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.5.1

اطرح $90$ من $15$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 75 + 120}{4}$

خطوة 8.2.5.2

أضف $- 75$ و $120$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{45}{4}$

خطوة 8.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{45}{4}$ .

$\frac{45}{4}$

خطوة 8.3

في $- \frac{1}{2}$ ، المشتق الثاني هو $11.25$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- 1, 0)$ .

تزايد خلال $(- 1, 0)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 9

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.1$ في العبارة.

$f'' (0.1) = 60 {(0.1)}^{4} + 180 {(0.1)}^{3} + 120 {(0.1)}^{2}$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

ارفع $0.1$ إلى القوة $4$ .

$f'' (0.1) = 60 \cdot 0.0001 + 180 {(0.1)}^{3} + 120 {(0.1)}^{2}$

خطوة 9.2.1.2

اضرب $60$ في $0.0001$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 180 {(0.1)}^{3} + 120 {(0.1)}^{2}$

خطوة 9.2.1.3

ارفع $0.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 180 \cdot 0.001 + 120 {(0.1)}^{2}$

خطوة 9.2.1.4

اضرب $180$ في $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 0.18 + 120 {(0.1)}^{2}$

خطوة 9.2.1.5

ارفع $0.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 0.18 + 120 \cdot 0.01$

خطوة 9.2.1.6

اضرب $120$ في $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 0.18 + 1.2$

خطوة 9.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

أضف $0.006$ و $0.18$ .

$f'' (0.1) = 0.186 + 1.2$

خطوة 9.2.2.2

أضف $0.186$ و $1.2$ .

$f'' (0.1) = 1.386$

خطوة 9.2.3

الإجابة النهائية هي $1.386$ .

$1.386$

خطوة 9.3

في $0.1$ ، المشتق الثاني هو $1.386$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(0, \infty)$ .

تزايد خلال $(0, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 10

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(- 2, 4), (- 1, 6)$ .

$(- 2, 4), (- 1, 6)$

خطوة 11