حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt{\frac{1}{x - 2}}$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = \sqrt{\frac{1}{y - 2}}$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\sqrt{\frac{1}{y - 2}} = x$ .

$\sqrt{\frac{1}{y - 2}} = x$

خطوة 2.2

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{\frac{1}{y - 2}}}^{2} = x^{2}$

خطوة 2.3

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{\frac{1}{y - 2}}$ في صورة ${(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

بسّط ${({(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

خطوة 2.3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

خطوة 2.3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(\frac{1}{y - 2})}^{1} = x^{2}$

خطوة 2.3.2.1.2

بسّط.

$\frac{1}{y - 2} = x^{2}$

خطوة 2.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$y - 2, 1$

خطوة 2.4.1.2

احذِف الأقواس.

$y - 2, 1$

خطوة 2.4.1.3

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$y - 2$

خطوة 2.4.2

اضرب كل حد في $\frac{1}{y - 2} = x^{2}$ في $y - 2$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{y - 2} = x^{2}$ في $y - 2$ .

$\frac{1}{y - 2} (y - 2) = x^{2} (y - 2)$

خطوة 2.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y - 2} (y - 2) = x^{2} (y - 2)$

خطوة 2.4.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = x^{2} (y - 2)$

خطوة 2.4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = x^{2} y + x^{2} \cdot - 2$

خطوة 2.4.2.3.2

انقُل $- 2$ إلى يسار $x^{2}$ .

$1 = x^{2} y - 2 x^{2}$

خطوة 2.4.3

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x^{2} y - 2 x^{2} = 1$ .

$x^{2} y - 2 x^{2} = 1$

خطوة 2.4.3.2

أضف $2 x^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} y = 1 + 2 x^{2}$

خطوة 2.4.3.3

اقسِم كل حد في $x^{2} y = 1 + 2 x^{2}$ على $x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.3.1

اقسِم كل حد في $x^{2} y = 1 + 2 x^{2}$ على $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2}}$

خطوة 2.4.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2}}$

خطوة 2.4.3.3.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2}}$

خطوة 2.4.3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2}}$

خطوة 2.4.3.3.3.1.2

اقسِم $2$ على $1$ .

$y = \frac{1}{x^{2}} + 2$

خطوة 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$ هي معكوس $f (x) = \sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\sqrt{\frac{1}{x - 2}})}^{2}} + 2$

خطوة 4.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

خطوة 4.2.3.1.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{1}{\sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

خطوة 4.2.3.1.3

اضرب $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ في $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{1}{\sqrt{x - 2}} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

خطوة 4.2.3.1.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.4.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ في $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

خطوة 4.2.3.1.4.2

ارفع $\sqrt{x - 2}$ إلى القوة $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

خطوة 4.2.3.1.4.3

ارفع $\sqrt{x - 2}$ إلى القوة $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

خطوة 4.2.3.1.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1 + 1}})}^{2}} + 2$

خطوة 4.2.3.1.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{2}})}^{2}} + 2$

خطوة 4.2.3.1.4.6

أعِد كتابة ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ بالصيغة $x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.4.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x - 2}$ في صورة ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}} + 2$

خطوة 4.2.3.1.4.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}} + 2$

خطوة 4.2.3.1.4.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}})}^{2}} + 2$

خطوة 4.2.3.1.4.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.4.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}})}^{2}} + 2$

خطوة 4.2.3.1.4.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2})}^{2}} + 2$

خطوة 4.2.3.1.4.6.5

بسّط.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2})}^{2}} + 2$

خطوة 4.2.3.1.5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{\sqrt{x - 2}}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

خطوة 4.2.3.1.6

أعِد كتابة ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ بالصيغة $x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x - 2}$ في صورة ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

خطوة 4.2.3.1.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

خطوة 4.2.3.1.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

خطوة 4.2.3.1.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

خطوة 4.2.3.1.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{x - 2}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

خطوة 4.2.3.1.6.5

بسّط.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{x - 2}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

خطوة 4.2.3.1.7

احذِف العامل المشترك لـ $x - 2$ و ${(x - 2)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.7.1

اضرب في $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{(x - 2) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

خطوة 4.2.3.1.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.7.2.1

أخرِج العامل $x - 2$ من ${(x - 2)}^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{(x - 2) \cdot 1}{(x - 2) (x - 2)}} + 2$

خطوة 4.2.3.1.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{(x - 2) \cdot 1}{(x - 2) (x - 2)}} + 2$

خطوة 4.2.3.1.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{1}{x - 2}} + 2$

خطوة 4.2.3.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = 1 (x - 2) + 2$

خطوة 4.2.3.3

اضرب $x - 2$ في $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = x - 2 + 2$

خطوة 4.2.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - 2 + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

أضف $- 2$ و $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = x + 0$

خطوة 4.2.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = x$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{1}{x^{2}} + 2)$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{\frac{1}{(\frac{1}{x^{2}} + 2) - 2}}$

خطوة 4.3.3

اطرح $2$ من $2$ .

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{\frac{1}{\frac{1}{x^{2}} + 0}}$

خطوة 4.3.4

أضف $\frac{1}{x^{2}}$ و $0$ .

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{\frac{1}{\frac{1}{x^{2}}}}$

خطوة 4.3.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{1 x^{2}}$

خطوة 4.3.6

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{x^{2}}$

خطوة 4.3.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = x$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$ هي معكوس $f (x) = \sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$