حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{4}}{4 - 8 x^{2}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x^{4}}{4 - 8 x^{2}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x^{4}}{4 - 8 x^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = 4 - 8 x^{2}$ .

$\frac{(4 - 8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [4 - 8 x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{(4 - 8 x^{2}) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [4 - 8 x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2.2

انقُل $4$ إلى يسار $4 - 8 x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [4 - 8 x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 - 8 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}])}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}])}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2.6

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 8 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} (- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2.7

اضرب $- 8$ في $- 1$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 8 x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 8 x^{4} (2 x)}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2.9

اضرب $2$ في $8$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{4} x}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 16 (x^{1} x^{4})}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{1 + 4}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.5

أضف $1$ و $4$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(4 \cdot 4 + 4 (- 8 x^{2})) x^{3} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 \cdot 4 x^{3} + 4 (- 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1.1

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 (- 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.6.3.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.3.1.2.1

انقُل $x^{3}$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 (- 8 (x^{3} x^{2})) + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.6.3.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{16 x^{3} + 4 (- 8 x^{3 + 2}) + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.6.3.1.2.3

أضف $3$ و $2$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 (- 8 x^{5}) + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.6.3.1.3

اضرب $- 8$ في $4$ .

$\frac{16 x^{3} - 32 x^{5} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.6.3.2

أضف $- 32 x^{5}$ و $16 x^{5}$ .

$\frac{16 x^{3} - 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.6.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 16 x^{5} + 16 x^{3}}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2.6.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.5.1

أخرِج العامل $16 x^{3}$ من $- 16 x^{5} + 16 x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.5.1.1

أخرِج العامل $16 x^{3}$ من $- 16 x^{5}$ .

$\frac{16 x^{3} (- x^{2}) + 16 x^{3}}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2.6.5.1.2

أخرِج العامل $16 x^{3}$ من $16 x^{3}$ .

$\frac{16 x^{3} (- x^{2}) + 16 x^{3} (1)}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2.6.5.1.3

أخرِج العامل $16 x^{3}$ من $16 x^{3} (- x^{2}) + 16 x^{3} (1)$ .

$\frac{16 x^{3} (- x^{2} + 1)}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2.6.5.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{16 x^{3} (- x^{2} + 1^{2})}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2.6.5.3

أعِد ترتيب $- x^{2}$ و $1^{2}$ .

$\frac{16 x^{3} (1^{2} - x^{2})}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2.6.5.4

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = x$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2.6.6

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.6.1

أخرِج العامل $4$ من $- 8 x^{2} + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.6.1.1

أخرِج العامل $4$ من $- 8 x^{2}$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(4 (- 2 x^{2}) + 4)}^{2}}$

خطوة 2.6.6.1.2

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(4 (- 2 x^{2}) + 4 (1))}^{2}}$

خطوة 2.6.6.1.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (- 2 x^{2}) + 4 (1)$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(4 (- 2 x^{2} + 1))}^{2}}$

خطوة 2.6.6.2

طبّق قاعدة الضرب على $4 (- 2 x^{2} + 1)$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{4^{2} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.6.6.3

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{16 {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.6.7

ألغِ العامل المشترك لـ $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{16 {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.6.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(x^{3} (1 + x)) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

$\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x) (1 - x)) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{({(- 2 x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.2

اضرب الأُسس في ${({(- 2 x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x) (1 - x)) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 3.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x) (1 - x)) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{3} (1 + x)$ و $g (x) = 1 - x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (x^{3} (1 + x) \frac{d}{d x} (1 - x) + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (x^{3} (1 + x) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x)) + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 3.4.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (x^{3} (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 3.4.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (x^{3} (1 + x) \frac{d}{d x} (- x) + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 3.4.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (x^{3} (1 + x) (- \frac{d}{d x} x) + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 3.4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (x^{3} (1 + x) (- 1 \cdot 1) + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 3.4.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (x^{3} (1 + x) \cdot - 1 + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 3.4.6.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x^{3} (1 + x)$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- 1 \cdot (x^{3} (1 + x)) + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 3.4.6.3

أعِد كتابة $- 1 x^{3}$ بالصيغة $- x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = 1 + x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} \frac{d}{d x} (1 + x) + (1 + x) \frac{d}{d x} (x^{3}))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x)) + (1 + x) \frac{d}{d x} (x^{3}))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 3.6.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} (0 + \frac{d}{d x} (x)) + (1 + x) \frac{d}{d x} (x^{3}))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 3.6.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} \frac{d}{d x} (x) + (1 + x) \frac{d}{d x} (x^{3}))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 3.6.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} \cdot 1 + (1 + x) \frac{d}{d x} (x^{3}))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 3.6.5

اضرب $x^{3}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + (1 + x) \frac{d}{d x} (x^{3}))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 3.6.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + (1 + x) (3 x^{2}))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 3.6.7

انقُل $3$ إلى يسار $1 + x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 \cdot ((1 + x) x^{2}))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = - 2 x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- 2 x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - x^{3} (1 + x) (1 - x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 3.7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - x^{3} (1 + x) (1 - x) (2 u \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 3.7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 2 x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - x^{3} (1 + x) (1 - x) (2 (- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 3.8

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) ((- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 3.8.2

أخرِج العامل $- 2 x^{2} + 1$ من ${(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) ((- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 1])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.1

أخرِج العامل $- 2 x^{2} + 1$ من ${(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2}))$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) ((- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2}))) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) ((- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 3.8.2.2

أخرِج العامل $- 2 x^{2} + 1$ من $- 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) ((- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 1])$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) ((- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2}))) + (- 2 x^{2} + 1) (- 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1)))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 3.8.2.3

أخرِج العامل $- 2 x^{2} + 1$ من $(- 2 x^{2} + 1) ((- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2}))) + (- 2 x^{2} + 1) (- 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 1]))$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) ((- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1)))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 3.9

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

أخرِج العامل $- 2 x^{2} + 1$ من ${(- 2 x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) ((- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1)))}{(- 2 x^{2} + 1) {(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.9.2

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 3.9.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.10

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 2 x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.11

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.13

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (- 4 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.14

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (- 4 x + 0)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.15

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.15.1

أضف $- 4 x$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (- 4 x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.15.2

اضرب $- 4$ في $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) + 8 x^{3} (1 + x) (1 - x) x}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.16

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) + 8 (x \cdot x^{3}) (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.17

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) + 8 x^{1 + 3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.18

أضف $1$ و $3$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) + 8 x^{4} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.19.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} \cdot 1 - x^{3} x + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) + 8 x^{4} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} \cdot 1 - x^{3} x + (1 - x) (x^{3} + (3 \cdot 1 + 3 x) x^{2})) + 8 x^{4} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} \cdot 1 - x^{3} x + (1 - x) (x^{3} + 3 \cdot (1 x^{2}) + 3 x \cdot x^{2})) + 8 x^{4} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} \cdot 1 - x^{3} x + (1 - x) (x^{3} + 3 \cdot (1 x^{2}) + 3 x \cdot x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.19.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.19.5.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.19.5.1.1.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{3} x + (1 - x) (x^{3} + 3 \cdot (1 x^{2}) + 3 x \cdot x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.1.2

اضرب $x^{3}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.19.5.1.1.2.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - (x \cdot x^{3}) + (1 - x) (x^{3} + 3 \cdot (1 x^{2}) + 3 x \cdot x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.1.2.2

اضرب $x$ في $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.19.5.1.1.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - (x \cdot x^{3}) + (1 - x) (x^{3} + 3 \cdot (1 x^{2}) + 3 x \cdot x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{1 + 3} + (1 - x) (x^{3} + 3 \cdot (1 x^{2}) + 3 x \cdot x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.1.2.3

أضف $1$ و $3$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + (1 - x) (x^{3} + 3 \cdot (1 x^{2}) + 3 x \cdot x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.19.5.1.1.3.1

اضرب $3$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + (1 - x) (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.1.3.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.19.5.1.1.3.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + (1 - x) (x^{3} + 3 x^{2} + 3 (x^{2} x))) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.1.3.2.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.19.5.1.1.3.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + (1 - x) (x^{3} + 3 x^{2} + 3 (x^{2} x))) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.1.3.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + (1 - x) (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x^{2 + 1})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.1.3.2.3

أضف $2$ و $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + (1 - x) (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x^{3})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.1.4

أضف $x^{3}$ و $3 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + (1 - x) (4 x^{3} + 3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.1.5

وسّع $(1 - x) (4 x^{3} + 3 x^{2})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.19.5.1.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 1 (4 x^{3} + 3 x^{2}) - x (4 x^{3} + 3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.1.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 1 (4 x^{3}) + 1 (3 x^{2}) - x (4 x^{3} + 3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.1.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 1 (4 x^{3}) + 1 (3 x^{2}) - x (4 x^{3}) - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.1.6

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.19.5.1.1.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.19.5.1.1.6.1.1

اضرب $4 x^{3}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 1 (3 x^{2}) - x (4 x^{3}) - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.1.6.1.2

اضرب $3 x^{2}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - x (4 x^{3}) - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.1.6.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 1 \cdot (4 x \cdot x^{3}) - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.1.6.1.4

اضرب $x$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.19.5.1.1.6.1.4.1

انقُل $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 1 \cdot (4 (x^{3} x)) - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.1.6.1.4.2

اضرب $x^{3}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.19.5.1.1.6.1.4.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 1 \cdot (4 (x^{3} x)) - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.1.6.1.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 1 \cdot (4 x^{3 + 1}) - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.1.6.1.4.3

أضف $3$ و $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 1 \cdot (4 x^{4}) - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.1.6.1.5

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4} - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.1.6.1.6

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (3 x \cdot x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.1.6.1.7

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.19.5.1.1.6.1.7.1

انقُل $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (3 (x^{2} x))) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.1.6.1.7.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.19.5.1.1.6.1.7.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (3 (x^{2} x))) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.1.6.1.7.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (3 x^{2 + 1})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.1.6.1.7.3

أضف $2$ و $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (3 x^{3})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.1.6.1.8

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4} - 3 x^{3}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.1.6.2

اطرح $3 x^{3}$ من $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $- x^{3} - x^{4} + x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.19.5.1.2.1

أضف $- x^{3}$ و $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{4} + 0 + 3 x^{2} - 4 x^{4}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.2.2

أضف $- x^{4}$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{4} + 3 x^{2} - 4 x^{4}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.3

اطرح $4 x^{4}$ من $- x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- 5 x^{4} + 3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.4

وسّع $(- 2 x^{2} + 1) (- 5 x^{4} + 3 x^{2})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.19.5.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} (- 5 x^{4} + 3 x^{2}) + 1 (- 5 x^{4} + 3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} (- 5 x^{4}) - 2 x^{2} (3 x^{2}) + 1 (- 5 x^{4} + 3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} (- 5 x^{4}) - 2 x^{2} (3 x^{2}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.5

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.19.5.1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.19.5.1.5.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{- 2 \cdot (- 5 x^{2} x^{4}) - 2 x^{2} (3 x^{2}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.5.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x^{4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.19.5.1.5.1.2.1

انقُل $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 \cdot (- 5 (x^{4} x^{2})) - 2 x^{2} (3 x^{2}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.5.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 2 \cdot (- 5 x^{4 + 2}) - 2 x^{2} (3 x^{2}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.5.1.2.3

أضف $4$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 \cdot (- 5 x^{6}) - 2 x^{2} (3 x^{2}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.5.1.3

اضرب $- 2$ في $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 2 x^{2} (3 x^{2}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.5.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 2 \cdot (3 x^{2} x^{2}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.5.1.5

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.19.5.1.5.1.5.1

انقُل $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 2 \cdot (3 (x^{2} x^{2})) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.5.1.5.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 2 \cdot (3 x^{2 + 2}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.5.1.5.3

أضف $2$ و $2$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 2 \cdot (3 x^{4}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.5.1.6

اضرب $- 2$ في $3$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 6 x^{4} + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.5.1.7

اضرب $- 5 x^{4}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 6 x^{4} - 5 x^{4} + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.5.1.8

اضرب $3 x^{2}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 6 x^{4} - 5 x^{4} + 3 x^{2} + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.5.2

اطرح $5 x^{4}$ من $- 6 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.19.5.1.6.1

اضرب $8$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + (8 x^{4} + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.6.2

اضرب $x^{4}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.19.5.1.6.2.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + (8 x^{4} + 8 (x \cdot x^{4})) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.6.2.2

اضرب $x$ في $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.19.5.1.6.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + (8 x^{4} + 8 (x \cdot x^{4})) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.6.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + (8 x^{4} + 8 x^{1 + 4}) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.6.2.3

أضف $1$ و $4$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + (8 x^{4} + 8 x^{5}) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.7

وسّع $(8 x^{4} + 8 x^{5}) (1 - x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.19.5.1.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} (1 - x) + 8 x^{5} (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} (- x) + 8 x^{5} (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.7.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} (- x) + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.8

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.19.5.1.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.19.5.1.8.1.1

اضرب $8$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} + 8 x^{4} (- x) + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.8.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot (- 1 x^{4} x) + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.8.1.3

اضرب $x^{4}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.19.5.1.8.1.3.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot (- 1 (x \cdot x^{4})) + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.8.1.3.2

اضرب $x$ في $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.19.5.1.8.1.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot (- 1 (x \cdot x^{4})) + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.8.1.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot (- 1 x^{1 + 4}) + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.8.1.3.3

أضف $1$ و $4$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot (- 1 x^{5}) + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.8.1.4

اضرب $8$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{5} + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.8.1.5

اضرب $8$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{5} + 8 x^{5} + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.8.1.6

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{5} + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 1 x^{5} x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.8.1.7

اضرب $x^{5}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.19.5.1.8.1.7.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{5} + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 1 (x \cdot x^{5}))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.8.1.7.2

اضرب $x$ في $x^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.19.5.1.8.1.7.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{5} + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 1 (x \cdot x^{5}))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.8.1.7.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{5} + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 1 x^{1 + 5})}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.8.1.7.3

أضف $1$ و $5$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{5} + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 1 x^{6})}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.8.1.8

اضرب $8$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{5} + 8 x^{5} - 8 x^{6}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.8.2

أضف $- 8 x^{5}$ و $8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} + 0 - 8 x^{6}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.1.8.3

أضف $8 x^{4}$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{6}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.2

اطرح $8 x^{6}$ من $10 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.5.3

أضف $- 11 x^{4}$ و $8 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{6} - 3 x^{4} + 3 x^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.6

أخرِج العامل $x^{2}$ من $2 x^{6} - 3 x^{4} + 3 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.19.6.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $2 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x^{4}) - 3 x^{4} + 3 x^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.6.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- 3 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x^{4}) + x^{2} (- 3 x^{2}) + 3 x^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.6.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $3 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x^{4}) + x^{2} (- 3 x^{2}) + x^{2} \cdot 3}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.6.4

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} (2 x^{4}) + x^{2} (- 3 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x^{4} - 3 x^{2}) + x^{2} \cdot 3}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3.19.6.5

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} (2 x^{4} - 3 x^{2}) + x^{2} \cdot 3$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x^{4} - 3 x^{2} + 3)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 4

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

خطوة 5

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

$\frac{(4 - 8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [4 - 8 x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 5.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{(4 - 8 x^{2}) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [4 - 8 x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 5.1.2.2

انقُل $4$ إلى يسار $4 - 8 x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [4 - 8 x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 5.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 - 8 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}])}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 5.1.2.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}])}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 5.1.2.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 5.1.2.6

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 8 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} (- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 5.1.2.7

اضرب $- 8$ في $- 1$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 8 x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 5.1.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 8 x^{4} (2 x)}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 5.1.2.9

اضرب $2$ في $8$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{4} x}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 5.1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 16 (x^{1} x^{4})}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 5.1.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{1 + 4}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 5.1.5

أضف $1$ و $4$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 5.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(4 \cdot 4 + 4 (- 8 x^{2})) x^{3} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 5.1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 \cdot 4 x^{3} + 4 (- 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 5.1.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.6.3.1.1

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 (- 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 5.1.6.3.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.6.3.1.2.1

انقُل $x^{3}$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 (- 8 (x^{3} x^{2})) + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 5.1.6.3.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{16 x^{3} + 4 (- 8 x^{3 + 2}) + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 5.1.6.3.1.2.3

أضف $3$ و $2$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 (- 8 x^{5}) + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 5.1.6.3.1.3

اضرب $- 8$ في $4$ .

$\frac{16 x^{3} - 32 x^{5} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 5.1.6.3.2

أضف $- 32 x^{5}$ و $16 x^{5}$ .

$\frac{16 x^{3} - 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

خطوة 5.1.6.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 16 x^{5} + 16 x^{3}}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 5.1.6.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.6.5.1

أخرِج العامل $16 x^{3}$ من $- 16 x^{5} + 16 x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.6.5.1.1

أخرِج العامل $16 x^{3}$ من $- 16 x^{5}$ .

$\frac{16 x^{3} (- x^{2}) + 16 x^{3}}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 5.1.6.5.1.2

أخرِج العامل $16 x^{3}$ من $16 x^{3}$ .

$\frac{16 x^{3} (- x^{2}) + 16 x^{3} (1)}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 5.1.6.5.1.3

أخرِج العامل $16 x^{3}$ من $16 x^{3} (- x^{2}) + 16 x^{3} (1)$ .

$\frac{16 x^{3} (- x^{2} + 1)}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 5.1.6.5.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{16 x^{3} (- x^{2} + 1^{2})}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 5.1.6.5.3

أعِد ترتيب $- x^{2}$ و $1^{2}$ .

$\frac{16 x^{3} (1^{2} - x^{2})}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 5.1.6.5.4

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 5.1.6.6

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.6.6.1

أخرِج العامل $4$ من $- 8 x^{2} + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.6.6.1.1

أخرِج العامل $4$ من $- 8 x^{2}$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(4 (- 2 x^{2}) + 4)}^{2}}$

خطوة 5.1.6.6.1.2

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(4 (- 2 x^{2}) + 4 (1))}^{2}}$

خطوة 5.1.6.6.1.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (- 2 x^{2}) + 4 (1)$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(4 (- 2 x^{2} + 1))}^{2}}$

خطوة 5.1.6.6.2

طبّق قاعدة الضرب على $4 (- 2 x^{2} + 1)$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{4^{2} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 5.1.6.6.3

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{16 {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 5.1.6.7

ألغِ العامل المشترك لـ $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.6.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{16 {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 5.1.6.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = \frac{(x^{3} (1 + x)) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

$f' (x) = \frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 5.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 6

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

خطوة 6.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$x^{3} (1 + x) (1 - x) = 0$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{3} = 0$

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

خطوة 6.3.2

عيّن قيمة العبارة $x^{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

عيّن قيمة $x^{3}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{3} = 0$

خطوة 6.3.2.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{3} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \sqrt[3]{0}$

خطوة 6.3.2.2.2

بسّط $\sqrt[3]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

خطوة 6.3.2.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$x = 0$

خطوة 6.3.3

عيّن قيمة العبارة $1 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

عيّن قيمة $1 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$1 + x = 0$

خطوة 6.3.3.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 6.3.4

عيّن قيمة العبارة $1 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.1

عيّن قيمة $1 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$1 - x = 0$

خطوة 6.3.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $1 - x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 1$

خطوة 6.3.4.2.2

اقسِم كل حد في $- x = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 6.3.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 6.3.4.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 6.3.4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.4.2.2.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$x = 1$

خطوة 6.3.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x^{3} (1 + x) (1 - x) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 1, 1$

خطوة 7

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(- 2 x^{2} + 1)}^{2} = 0$

خطوة 7.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x^{2}$ .

${(- (2 x^{2}) + 1)}^{2} = 0$

خطوة 7.2.1.1.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

${(- (2 x^{2}) - 1 \cdot - 1)}^{2} = 0$

خطوة 7.2.1.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

${(- (2 x^{2} - 1))}^{2} = 0$

خطوة 7.2.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $- (2 x^{2} - 1)$ .

${(- 1)}^{2} {(2 x^{2} - 1)}^{2} = 0$

خطوة 7.2.2

اقسِم كل حد في ${(- 1)}^{2} {(2 x^{2} - 1)}^{2} = 0$ على ${(- 1)}^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اقسِم كل حد في ${(- 1)}^{2} {(2 x^{2} - 1)}^{2} = 0$ على ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(2 x^{2} - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(- 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(2 x^{2} - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.2.1.2

اقسِم ${(2 x^{2} - 1)}^{2}$ على $1$ .

${(2 x^{2} - 1)}^{2} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.3.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

${(2 x^{2} - 1)}^{2} = \frac{0}{1}$

خطوة 7.2.2.3.2

اقسِم $0$ على $1$ .

${(2 x^{2} - 1)}^{2} = 0$

خطوة 7.2.3

عيّن قيمة $2 x^{2} - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x^{2} - 1 = 0$

خطوة 7.2.4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 x^{2} = 1$

خطوة 7.2.4.2

اقسِم كل حد في $2 x^{2} = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.2.1

اقسِم كل حد في $2 x^{2} = 1$ على $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 7.2.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 7.2.4.2.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 7.2.4.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

خطوة 7.2.4.4

بسّط $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.4.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

خطوة 7.2.4.4.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

خطوة 7.2.4.4.3

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 7.2.4.4.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.4.4.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 7.2.4.4.4.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

خطوة 7.2.4.4.4.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

خطوة 7.2.4.4.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 7.2.4.4.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 7.2.4.4.4.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.4.4.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 7.2.4.4.4.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 7.2.4.4.4.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.2.4.4.4.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.4.4.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.2.4.4.4.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

خطوة 7.2.4.4.4.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 7.2.4.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 7.2.4.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 7.2.4.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 7.3

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}, x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 8

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 0, - 1, 1$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{{(0)}^{2} (2 {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{2} + 3)}{{(- 2 {(0)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 10

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0^{2} (2 \cdot 0 - 3 \cdot 0^{2} + 3)}{{(- 2 \cdot 0^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 10.1.2

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{0^{2} (0 - 3 \cdot 0^{2} + 3)}{{(- 2 \cdot 0^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 10.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0^{2} (0 - 3 \cdot 0 + 3)}{{(- 2 \cdot 0^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 10.1.4

اضرب $- 3$ في $0$ .

$\frac{0^{2} (0 + 0 + 3)}{{(- 2 \cdot 0^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 10.1.5

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0^{2} (0 + 3)}{{(- 2 \cdot 0^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 10.1.6

أضف $0$ و $3$ .

$\frac{0^{2} \cdot 3}{{(- 2 \cdot 0^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 10.1.7

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0 \cdot 3}{{(- 2 \cdot 0^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 10.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0 \cdot 3}{{(- 2 \cdot 0 + 1)}^{3}}$

خطوة 10.2.2

اضرب $- 2$ في $0$ .

$\frac{0 \cdot 3}{{(0 + 1)}^{3}}$

خطوة 10.2.3

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{0 \cdot 3}{1^{3}}$

خطوة 10.2.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{0 \cdot 3}{1}$

خطوة 10.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

اضرب $0$ في $3$ .

$\frac{0}{1}$

خطوة 10.3.2

اقسِم $0$ على $1$ .

$0$

خطوة 11

نظرًا إلى وجود نقطة واحدة على الأقل بها $0$ أو مشتق ثانٍ غير معرّف، طبّق اختبار المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 11.2

عوّض بأي عدد، مثل $- 4$ ، من الفترة $(- \infty, - 1)$ في المشتق الأول $\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4$ في العبارة.

$f' (- 4) = \frac{{(- 4)}^{3} (1 - 4) (1 - (- 4))}{{(- 2 {(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 11.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

احذِف الأقواس.

$f' (- 4) = \frac{{(- 4)}^{3} (1 - 4) (1 - (- 4))}{{(- 2 {(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 11.2.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.2.1

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$f' (- 4) = \frac{{(- 4)}^{3} (1 - 4) (1 + 4)}{{(- 2 {(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 11.2.2.2.2

اطرح $4$ من $1$ .

$f' (- 4) = \frac{{(- 4)}^{3} \cdot (- 3 (1 + 4))}{{(- 2 {(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 11.2.2.2.3

ارفع $- 4$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 4) = \frac{- 64 \cdot (- 3 (1 + 4))}{{(- 2 {(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 11.2.2.2.4

أضف $1$ و $4$ .

$f' (- 4) = \frac{- 64 \cdot - 3 \cdot 5}{{(- 2 {(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 11.2.2.2.5

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.2.5.1

اضرب $- 64$ في $- 3$ .

$f' (- 4) = \frac{192 \cdot 5}{{(- 2 {(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 11.2.2.2.5.2

اضرب $192$ في $5$ .

$f' (- 4) = \frac{960}{{(- 2 {(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 11.2.2.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.3.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 4) = \frac{960}{{(- 2 \cdot 16 + 1)}^{2}}$

خطوة 11.2.2.3.2

اضرب $- 2$ في $16$ .

$f' (- 4) = \frac{960}{{(- 32 + 1)}^{2}}$

خطوة 11.2.2.3.3

أضف $- 32$ و $1$ .

$f' (- 4) = \frac{960}{{(- 31)}^{2}}$

خطوة 11.2.2.3.4

ارفع $- 31$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 4) = \frac{960}{961}$

خطوة 11.2.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{960}{961}$ .

$\frac{960}{961}$

خطوة 11.3

عوّض بأي عدد، مثل $- 0.85$ ، من الفترة $(- 1, 0)$ في المشتق الأول $\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.85$ في العبارة.

$f' (- 0.85) = \frac{{(- 0.85)}^{3} (1 - 0.85) (1 - (- 0.85))}{{(- 2 {(- 0.85)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 11.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.1

احذِف الأقواس.

$f' (- 0.85) = \frac{{(- 0.85)}^{3} (1 - 0.85) (1 - (- 0.85))}{{(- 2 {(- 0.85)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 11.3.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.2.1

اضرب $- 1$ في $- 0.85$ .

$f' (- 0.85) = \frac{{(- 0.85)}^{3} (1 - 0.85) (1 + 0.85)}{{(- 2 {(- 0.85)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 11.3.2.2.2

اطرح $0.85$ من $1$ .

$f' (- 0.85) = \frac{{(- 0.85)}^{3} \cdot (0.15 (1 + 0.85))}{{(- 2 {(- 0.85)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 11.3.2.2.3

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.2.3.1

اضرب ${(- 0.85)}^{3}$ في $0.15$ .

$f' (- 0.85) = \frac{- 0.09211875 (1 + 0.85)}{{(- 2 {(- 0.85)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 11.3.2.2.3.2

اضرب $- 0.09211875$ في $1 + 0.85$ .

$f' (- 0.85) = \frac{- 0.17041968}{{(- 2 {(- 0.85)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 11.3.2.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.3.1

ارفع $- 0.85$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 0.85) = \frac{- 0.17041968}{{(- 2 \cdot 0.7225 + 1)}^{2}}$

خطوة 11.3.2.3.2

اضرب $- 2$ في $0.7225$ .

$f' (- 0.85) = \frac{- 0.17041968}{{(- 1.445 + 1)}^{2}}$

خطوة 11.3.2.3.3

أضف $- 1.445$ و $1$ .

$f' (- 0.85) = \frac{- 0.17041968}{{(- 0.445)}^{2}}$

خطوة 11.3.2.3.4

ارفع $- 0.445$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 0.85) = \frac{- 0.17041968}{0.198025}$

خطوة 11.3.2.4

اقسِم $- 0.17041968$ على $0.198025$ .

$f' (- 0.85) = - 0.86059683$

خطوة 11.3.2.5

الإجابة النهائية هي $- 0.86059683$ .

$- 0.86059683$

خطوة 11.4

عوّض بأي عدد، مثل $0.35$ ، من الفترة $(0, 1)$ في المشتق الأول $\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.35$ في العبارة.

$f' (0.35) = \frac{{(0.35)}^{3} (1 + 0.35) (1 - (0.35))}{{(- 2 {(0.35)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 11.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.2.1

احذِف الأقواس.

$f' (0.35) = \frac{{(0.35)}^{3} (1 + 0.35) (1 - (0.35))}{{(- 2 {(0.35)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 11.4.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.2.2.1

اضرب $- 1$ في $0.35$ .

$f' (0.35) = \frac{{0.35}^{3} (1 + 0.35) (1 - 0.35)}{{(- 2 \cdot {0.35}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 11.4.2.2.2

أضف $1$ و $0.35$ .

$f' (0.35) = \frac{{0.35}^{3} \cdot (1.35 (1 - 0.35))}{{(- 2 \cdot {0.35}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 11.4.2.2.3

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.2.2.3.1

اضرب ${0.35}^{3}$ في $1.35$ .

$f' (0.35) = \frac{0.05788125 (1 - 0.35)}{{(- 2 \cdot {0.35}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 11.4.2.2.3.2

اضرب $0.05788125$ في $1 - 0.35$ .

$f' (0.35) = \frac{0.03762281}{{(- 2 \cdot {0.35}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 11.4.2.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.2.3.1

ارفع $0.35$ إلى القوة $2$ .

$f' (0.35) = \frac{0.03762281}{{(- 2 \cdot 0.1225 + 1)}^{2}}$

خطوة 11.4.2.3.2

اضرب $- 2$ في $0.1225$ .

$f' (0.35) = \frac{0.03762281}{{(- 0.245 + 1)}^{2}}$

خطوة 11.4.2.3.3

أضف $- 0.245$ و $1$ .

$f' (0.35) = \frac{0.03762281}{{0.755}^{2}}$

خطوة 11.4.2.3.4

ارفع $0.755$ إلى القوة $2$ .

$f' (0.35) = \frac{0.03762281}{0.570025}$

خطوة 11.4.2.4

اقسِم $0.03762281$ على $0.570025$ .

$f' (0.35) = 0.06600203$

خطوة 11.4.2.5

الإجابة النهائية هي $0.06600203$ .

$0.06600203$

خطوة 11.5

عوّض بأي عدد، مثل $4$ ، من الفترة $(1, \infty)$ في المشتق الأول $\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f' (4) = \frac{{(4)}^{3} (1 + 4) (1 - (4))}{{(- 2 {(4)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 11.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.2.1

احذِف الأقواس.

$f' (4) = \frac{{(4)}^{3} (1 + 4) (1 - (4))}{{(- 2 {(4)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 11.5.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.2.2.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f' (4) = \frac{4^{3} (1 + 4) (1 - 4)}{{(- 2 \cdot 4^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 11.5.2.2.2

أضف $1$ و $4$ .

$f' (4) = \frac{4^{3} \cdot (5 (1 - 4))}{{(- 2 \cdot 4^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 11.5.2.2.3

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$f' (4) = \frac{64 \cdot (5 (1 - 4))}{{(- 2 \cdot 4^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 11.5.2.2.4

اطرح $4$ من $1$ .

$f' (4) = \frac{64 \cdot 5 \cdot - 3}{{(- 2 \cdot 4^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 11.5.2.2.5

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.2.2.5.1

اضرب $64$ في $5$ .

$f' (4) = \frac{320 \cdot - 3}{{(- 2 \cdot 4^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 11.5.2.2.5.2

اضرب $320$ في $- 3$ .

$f' (4) = \frac{- 960}{{(- 2 \cdot 4^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 11.5.2.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.2.3.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$f' (4) = \frac{- 960}{{(- 2 \cdot 16 + 1)}^{2}}$

خطوة 11.5.2.3.2

اضرب $- 2$ في $16$ .

$f' (4) = \frac{- 960}{{(- 32 + 1)}^{2}}$

خطوة 11.5.2.3.3

أضف $- 32$ و $1$ .

$f' (4) = \frac{- 960}{{(- 31)}^{2}}$

خطوة 11.5.2.3.4

ارفع $- 31$ إلى القوة $2$ .

$f' (4) = \frac{- 960}{961}$

خطوة 11.5.2.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (4) = - \frac{960}{961}$

خطوة 11.5.2.5

الإجابة النهائية هي $- \frac{960}{961}$ .

$- \frac{960}{961}$

خطوة 11.6

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من موجب إلى سالب حول $x = - 1$ ، إذن $x = - 1$ تمثل حدًا أقصى محليًا.

$x = - 1$ هي حد أقصى محلي

خطوة 11.7

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = 0$ ، إذن $x = 0$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = 0$ هي حد أدنى محلي

خطوة 11.8

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من موجب إلى سالب حول $x = 1$ ، إذن $x = 1$ تمثل حدًا أقصى محليًا.

$x = 1$ هي حد أقصى محلي

خطوة 11.9

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = \frac{x^{4}}{4 - 8 x^{2}}$ .

$x = - 1$ هي حد أقصى محلي

$x = 0$ هي حد أدنى محلي

$x = 1$ هي حد أقصى محلي

$x = - 1$ هي حد أقصى محلي

$x = 0$ هي حد أدنى محلي

$x = 1$ هي حد أقصى محلي

خطوة 12