حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d}{d t} (\frac{t^{2} + 1}{t^{2} - 1})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ هو $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ حيث $f (t) = t^{2} + 1$ و $g (t) = t^{2} - 1$ .

$\frac{(t^{2} - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1] - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2} - 1]}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{2} + 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{(t^{2} - 1) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2} - 1]}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2} - 1]}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 2.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t + 0) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2} - 1]}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 2.4

أضف $2 t$ و $0$ .

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2} - 1]}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{2} - 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t) - (t^{2} + 1) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t) - (t^{2} + 1) (2 t + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 2.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t) - (t^{2} + 1) (2 t + 0)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 2.8

أضف $2 t$ و $0$ .

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t) - (t^{2} + 1) (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{t^{2} (2 t) - 1 (2 t) - (t^{2} + 1) (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{t^{2} (2 t) - 1 (2 t) + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{t^{2} (2 t) - 1 (2 t) - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 t^{2} t - 1 (2 t) - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.2

اضرب $t^{2}$ في $t$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.2.1

انقُل $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t^{2}) - 1 (2 t) - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.2.2

اضرب $t$ في $t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.2.2.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (t^{1} t^{2}) - 1 (2 t) - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 t^{1 + 2} - 1 (2 t) - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 t^{3} - 1 (2 t) - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2 t^{3} - 2 t - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 1 \cdot 2 t^{2} t - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.5

اضرب $t^{2}$ في $t$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.5.1

انقُل $t$ .

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 1 \cdot 2 (t \cdot t^{2}) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.5.2

اضرب $t$ في $t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.5.2.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 1 \cdot 2 (t^{1} t^{2}) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 1 \cdot 2 t^{1 + 2} - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.5.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 1 \cdot 2 t^{3} - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.6

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 2 t^{3} - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 2 t^{3} - 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.8

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 2 t^{3} - 2 t}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 t^{3} - 2 t - 2 t^{3} - 2 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اطرح $2 t^{3}$ من $2 t^{3}$ .

$\frac{- 2 t + 0 - 2 t}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.2.2

أضف $- 2 t$ و $0$ .

$\frac{- 2 t - 2 t}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.3

اطرح $2 t$ من $- 2 t$ .

$\frac{- 4 t}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{4 t}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

خطوة 3.6

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$- \frac{4 t}{{(t^{2} - 1^{2})}^{2}}$

خطوة 3.6.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = t$ و $b = 1$ .

$- \frac{4 t}{{((t + 1) (t - 1))}^{2}}$

خطوة 3.6.3

طبّق قاعدة الضرب على $(t + 1) (t - 1)$ .

$- \frac{4 t}{{(t + 1)}^{2} {(t - 1)}^{2}}$