حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt[3]{1 + x}$ , $a = 0$

خطوة 1

ضع في اعتبارك الدالة المُستخدمة لإيجاد الخطية عند $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

خطوة 2

عوّض بقيمة $a = 0$ في الدالة الخطية.

$L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0)$

خطوة 3

احسِب قيمة $f (0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \sqrt[3]{1 + 0}$

خطوة 3.2

بسّط $\sqrt[3]{1 + 0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

احذِف الأقواس.

$\sqrt[3]{1 + 0}$

خطوة 3.2.2

أضف $1$ و $0$ .

$\sqrt[3]{1}$

خطوة 3.2.3

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$1$

خطوة 4

أوجِد المشتق واحسِب قيمته عند $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد مشتق $f (x) = \sqrt[3]{1 + x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{1 + x}$ في صورة ${(1 + x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + x)}^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ و $g (x) = 1 + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 + x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 4.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 4.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + x$ .

$\frac{1}{3} {(1 + x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 4.1.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 4.1.4

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 4.1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{3} {(1 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 4.1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{1}{3} {(1 + x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 4.1.6.2

اطرح $3$ من $1$ .

$\frac{1}{3} {(1 + x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 4.1.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{3} {(1 + x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 4.1.7.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و ${(1 + x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(1 + x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 4.1.7.3

انقُل ${(1 + x)}^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(1 + x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 4.1.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(1 + x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.9

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{3 {(1 + x)}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.10

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(1 + x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(1 + x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

خطوة 4.1.12

اضرب $\frac{1}{3 {(1 + x)}^{\frac{2}{3}}}$ في $1$ .

$\frac{1}{3 {(1 + x)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.2

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$\frac{1}{3 {(1 + 0)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

احذِف الأقواس.

$\frac{1}{3 {(1 + 0)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.3.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.3.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{3 \cdot 1}$

خطوة 4.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{1}{3}$

خطوة 5

عوّض بالمركّبات في الدالة الخطية لإيجاد الإخطاط عند $a$ .

$L (x) = 1 + \frac{1}{3} (x - 0)$

خطوة 6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اطرح $0$ من $x$ .

$L (x) = 1 + \frac{1}{3} x$

خطوة 6.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x$ .

$L (x) = 1 + \frac{x}{3}$

خطوة 7