حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{64}{x^{2} + 16}$ , $x = 3$

خطوة 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عوّض بـ $3$ عن $x$ .

$y = \frac{64}{{(3)}^{2} + 16}$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

احذِف الأقواس.

$y = \frac{64}{3^{2} + 16}$

خطوة 1.2.2

احذِف الأقواس.

$y = \frac{64}{{(3)}^{2} + 16}$

خطوة 1.2.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{64}{9 + 16}$

خطوة 1.2.3.2

أضف $9$ و $16$ .

$y = \frac{64}{25}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 3$ و $y = \frac{64}{25}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بما أن $64$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{64}{x^{2} + 16}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $64 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 16}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 16}]$

خطوة 2.1.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2} + 16}$ بالصيغة ${(x^{2} + 16)}^{- 1}$ .

$64 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{- 1}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{2} + 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 16$ .

$64 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$64 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 16$ .

$64 (- {(x^{2} + 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $- 1$ في $64$ .

$- 64 ({(x^{2} + 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 16$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$- 64 {(x^{2} + 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16])$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 64 {(x^{2} + 16)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [16])$

خطوة 2.3.4

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $16$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 64 {(x^{2} + 16)}^{- 2} (2 x + 0)$

خطوة 2.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$- 64 {(x^{2} + 16)}^{- 2} (2 x)$

خطوة 2.3.5.2

اضرب $2$ في $- 64$ .

$- 128 {(x^{2} + 16)}^{- 2} x$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 128 \frac{1}{{(x^{2} + 16)}^{2}} x$

خطوة 2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اجمع $- 128$ و $\frac{1}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$\frac{- 128}{{(x^{2} + 16)}^{2}} x$

خطوة 2.4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{128}{{(x^{2} + 16)}^{2}} x$

خطوة 2.4.2.3

اجمع $x$ و $\frac{128}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 128}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

خطوة 2.4.2.4

انقُل $128$ إلى يسار $x$ .

$- \frac{128 x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

خطوة 2.5

احسِب قيمة المشتق في $x = 3$ .

$- \frac{128 (3)}{{({(3)}^{2} + 16)}^{2}}$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

اضرب $128$ في $3$ .

$- \frac{384}{{(3^{2} + 16)}^{2}}$

خطوة 2.6.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{384}{{(9 + 16)}^{2}}$

خطوة 2.6.2.2

أضف $9$ و $16$ .

$- \frac{384}{25^{2}}$

خطوة 2.6.2.3

ارفع $25$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{384}{625}$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الميل $- \frac{384}{625}$ ونقطة مُعطاة $(3, \frac{64}{25})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{64}{25}) = - \frac{384}{625} \cdot (x - (3))$

خطوة 3.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - \frac{64}{25} = - \frac{384}{625} \cdot (x - 3)$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $- \frac{384}{625} \cdot (x - 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - \frac{64}{25} = 0 + 0 - \frac{384}{625} \cdot (x - 3)$

خطوة 3.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - \frac{64}{25} = - \frac{384}{625} \cdot (x - 3)$

خطوة 3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - \frac{64}{25} = - \frac{384}{625} x - \frac{384}{625} \cdot - 3$

خطوة 3.3.1.4

اجمع $x$ و $\frac{384}{625}$ .

$y - \frac{64}{25} = - \frac{x \cdot 384}{625} - \frac{384}{625} \cdot - 3$

خطوة 3.3.1.5

اضرب $- \frac{384}{625} \cdot - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.5.1

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$y - \frac{64}{25} = - \frac{x \cdot 384}{625} + 3 (\frac{384}{625})$

خطوة 3.3.1.5.2

اجمع $3$ و $\frac{384}{625}$ .

$y - \frac{64}{25} = - \frac{x \cdot 384}{625} + \frac{3 \cdot 384}{625}$

خطوة 3.3.1.5.3

اضرب $3$ في $384$ .

$y - \frac{64}{25} = - \frac{x \cdot 384}{625} + \frac{1152}{625}$

خطوة 3.3.1.6

انقُل $384$ إلى يسار $x$ .

$y - \frac{64}{25} = - \frac{384 x}{625} + \frac{1152}{625}$

خطوة 3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أضف $\frac{64}{25}$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - \frac{384 x}{625} + \frac{1152}{625} + \frac{64}{25}$

خطوة 3.3.2.2

لكتابة $\frac{64}{25}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{25}{25}$ .

$y = - \frac{384 x}{625} + \frac{1152}{625} + \frac{64}{25} \cdot \frac{25}{25}$

خطوة 3.3.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $625$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.3.1

اضرب $\frac{64}{25}$ في $\frac{25}{25}$ .

$y = - \frac{384 x}{625} + \frac{1152}{625} + \frac{64 \cdot 25}{25 \cdot 25}$

خطوة 3.3.2.3.2

اضرب $25$ في $25$ .

$y = - \frac{384 x}{625} + \frac{1152}{625} + \frac{64 \cdot 25}{625}$

خطوة 3.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = - \frac{384 x}{625} + \frac{1152 + 64 \cdot 25}{625}$

خطوة 3.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.5.1

اضرب $64$ في $25$ .

$y = - \frac{384 x}{625} + \frac{1152 + 1600}{625}$

خطوة 3.3.2.5.2

أضف $1152$ و $1600$ .

$y = - \frac{384 x}{625} + \frac{2752}{625}$

خطوة 3.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$y = - (\frac{384}{625} x) + \frac{2752}{625}$

خطوة 3.3.3.2

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{384}{625} x + \frac{2752}{625}$

خطوة 4