حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln^{4} (1 + e^{x})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = \ln (1 + e^{x})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\ln (1 + e^{x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\ln (1 + e^{x})]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\ln (1 + e^{x})]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\ln (1 + e^{x})$ .

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [\ln (1 + e^{x})]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 1 + e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $1 + e^{x}$ .

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + e^{x}])$

خطوة 2.2

مشتق $\ln (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{u_{2}}$ .

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 + e^{x}])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $1 + e^{x}$ .

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) (\frac{1}{1 + e^{x}} \frac{d}{d x} [1 + e^{x}])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) (\frac{1}{1 + e^{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]))$

خطوة 3.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) (\frac{1}{1 + e^{x}} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]))$

خطوة 3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) (\frac{1}{1 + e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) (\frac{1}{1 + e^{x}} e^{x})$

خطوة 5

اجمع $\frac{1}{1 + e^{x}}$ و $e^{x}$ .

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

خطوة 6

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$ و $4$ .

$\frac{e^{x} \cdot 4}{1 + e^{x}} \ln^{3} (1 + e^{x})$

خطوة 6.2

اجمع $\frac{e^{x} \cdot 4}{1 + e^{x}}$ و $\ln^{3} (1 + e^{x})$ .

$\frac{e^{x} \cdot 4 \ln^{3} (1 + e^{x})}{1 + e^{x}}$

خطوة 6.3

انقُل $4$ إلى يسار $e^{x}$ .

$\frac{4 e^{x} \ln^{3} (1 + e^{x})}{1 + e^{x}}$