حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{7 x^{2}}{x^{2} + 36}$

خطوة 1

اكتب $\frac{7 x^{2}}{x^{2} + 36}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{7 x^{2}}{x^{2} + 36}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{7 x^{2}}{x^{2} + 36}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 36}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 36}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} + 36$ .

$7 \frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$7 \frac{(x^{2} + 36) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} + 36$ .

$7 \frac{2 \cdot (x^{2} + 36) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 36$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.5

بما أن $36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $36$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.3.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.6

أضف $1$ و $2$ .

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.7

اجمع $7$ و $\frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ .

$\frac{7 (2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{7 ((2 x^{2} + 2 \cdot 36) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{7 (2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.8.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{7 (2 x^{2} x) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.8.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.8.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.8.4.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.8.4.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{7 (2 (x \cdot x^{2})) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.8.4.1.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.8.4.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{7 (2 (x^{1} x^{2})) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.8.4.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{7 (2 x^{1 + 2}) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.8.4.1.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{7 (2 x^{3}) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.8.4.1.2

اضرب $2$ في $7$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.8.4.1.3

اضرب $2$ في $36$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 (72 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.8.4.1.4

اضرب $72$ في $7$ .

$\frac{14 x^{3} + 504 x + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.8.4.1.5

اضرب $- 2$ في $7$ .

$\frac{14 x^{3} + 504 x - 14 x^{3}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.8.4.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $14 x^{3} + 504 x - 14 x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.8.4.2.1

اطرح $14 x^{3}$ من $14 x^{3}$ .

$\frac{504 x + 0}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 2.1.8.4.2.2

أضف $504 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ .

$\frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$504 x = 0$

خطوة 3.3

اقسِم كل حد في $504 x = 0$ على $504$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم كل حد في $504 x = 0$ على $504$ .

$\frac{504 x}{504} = \frac{0}{504}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $504$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{504 x}{504} = \frac{0}{504}$

خطوة 3.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{504}$

خطوة 3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اقسِم $0$ على $504$ .

$x = 0$

خطوة 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0$ .

$0$

خطوة 5

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = \frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = \frac{7 x^{2}}{x^{2} + 36}$ هو $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f' (- 1) = \frac{504 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $504$ في $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 504}{{({(- 1)}^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 504}{{(1 + 36)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

أضف $1$ و $36$ .

$f' (- 1) = \frac{- 504}{37^{2}}$

خطوة 6.2.2.3

ارفع $37$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 504}{1369}$

خطوة 6.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- 1) = - \frac{504}{1369}$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{504}{1369}$ .

$- \frac{504}{1369}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 1$ هو $- \frac{504}{1369}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, 0)$ .

تناقص خلال $(- \infty, 0)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = \frac{504 (1)}{{({(1)}^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $504$ في $1$ .

$f' (1) = \frac{504}{{(1^{2} + 36)}^{2}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = \frac{504}{{(1 + 36)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.2

أضف $1$ و $36$ .

$f' (1) = \frac{504}{37^{2}}$

خطوة 7.2.2.3

ارفع $37$ إلى القوة $2$ .

$f' (1) = \frac{504}{1369}$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{504}{1369}$ .

$\frac{504}{1369}$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 1$ هو $\frac{504}{1369}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(0, \infty)$ .

تزايد خلال $(0, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(0, \infty)$

تناقص خلال: $(- \infty, 0)$

خطوة 9