حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{- 1.5 x^{2}}$

خطوة 1

اكتب $e^{- 1.5 x^{2}}$ في صورة دالة.

$f (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - 1.5 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- 1.5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

خطوة 2.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

خطوة 2.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 1.5 x^{2}$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $- 1.5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 1.5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 1.5 (2 x))$

خطوة 2.1.2.3

اضرب $2$ في $- 1.5$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 3 x)$

خطوة 2.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{- 1.5 x^{2}} (- 3 x)$ .

$- 3 e^{- 1.5 x^{2}} x$

خطوة 2.1.3.2

أعِد ترتيب العوامل في $- 3 e^{- 1.5 x^{2}} x$ .

$f' (x) = - 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$

خطوة 2.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$ .

$- 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 3 x e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

خطوة 3.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

خطوة 3.3

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $e^{- 1.5 x^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $e^{- 1.5 x^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

خطوة 3.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{- 1.5 x^{2}}) = \ln (0)$

خطوة 3.4.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 3.4.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 3.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ صحيحة.

$x = 0$

خطوة 4

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0$ .

$0$

خطوة 5

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = - 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$ هو $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f' (- 1) = - 3 \cdot - 1 \cdot e^{- 1.5 {(- 1)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot e^{- 1.5 {(- 1)}^{2}}$

خطوة 6.2.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot e^{- 1.5 \cdot 1}$

خطوة 6.2.3

اضرب $- 1.5$ في $1$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot e^{- 1.5}$

خطوة 6.2.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot \frac{1}{e^{1.5}}$

خطوة 6.2.5

اجمع $3$ و $\frac{1}{e^{1.5}}$ .

$f' (- 1) = \frac{3}{e^{1.5}}$

خطوة 6.2.6

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f' (- 1) = \frac{3}{{2.71828182}^{1.5}}$

خطوة 6.2.7

ارفع $2.71828182$ إلى القوة $1.5$ .

$f' (- 1) = \frac{3}{4.48168907}$

خطوة 6.2.8

اقسِم $3$ على $4.48168907$ .

$f' (- 1) = 0.66939048$

خطوة 6.2.9

الإجابة النهائية هي $0.66939048$ .

$0.66939048$

خطوة 6.3

المشتق في $x = - 1$ هو $0.66939048$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, 0)$ .

تزايد خلال $(- \infty, 0)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = - 3 \cdot 1 \cdot e^{- 1.5 {(1)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $- 3$ في $1$ .

$f' (1) = - 3 \cdot e^{- 1.5 {(1)}^{2}}$

خطوة 7.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = - 3 \cdot e^{- 1.5 \cdot 1}$

خطوة 7.2.3

اضرب $- 1.5$ في $1$ .

$f' (1) = - 3 \cdot e^{- 1.5}$

خطوة 7.2.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - 3 \cdot \frac{1}{e^{1.5}}$

خطوة 7.2.5

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{e^{1.5}}$ .

$f' (1) = \frac{- 3}{e^{1.5}}$

خطوة 7.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (1) = - \frac{3}{e^{1.5}}$

خطوة 7.2.7

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f' (1) = - \frac{3}{{2.71828182}^{1.5}}$

خطوة 7.2.8

ارفع $2.71828182$ إلى القوة $1.5$ .

$f' (1) = - \frac{3}{4.48168907}$

خطوة 7.2.9

اقسِم $3$ على $4.48168907$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 0.66939048$

خطوة 7.2.10

اضرب $- 1$ في $0.66939048$ .

$f' (1) = - 0.66939048$

خطوة 7.2.11

الإجابة النهائية هي $- 0.66939048$ .

$- 0.66939048$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 1$ هو $- 0.66939048$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(0, \infty)$ .

تناقص خلال $(0, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, 0)$

تناقص خلال: $(0, \infty)$

خطوة 9