حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 7 e^{x}$ , $y = 7 x e^{x}$ , $x = 0$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$7 e^{x} = 7 x e^{x}$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $7 e^{x} = 7 x e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (7 e^{x}) = \ln (7 x e^{x})$

خطوة 1.2.2

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أعِد كتابة $\ln (7 e^{x})$ بالصيغة $\ln (7) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (7) + \ln (e^{x}) = \ln (7 x e^{x})$

خطوة 1.2.2.2

وسّع $\ln (e^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$\ln (7) + x \ln (e) = \ln (7 x e^{x})$

خطوة 1.2.2.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$\ln (7) + x \cdot 1 = \ln (7 x e^{x})$

خطوة 1.2.2.4

اضرب $x$ في $1$ .

$\ln (7) + x = \ln (7 x e^{x})$

خطوة 1.2.3

وسّع الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أعِد كتابة $\ln (7 x e^{x})$ بالصيغة $\ln (7 x) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (7) + x = \ln (7 x) + \ln (e^{x})$

خطوة 1.2.3.2

أعِد كتابة $\ln (7 x)$ بالصيغة $\ln (7) + \ln (x)$ .

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + \ln (e^{x})$

خطوة 1.2.3.3

وسّع $\ln (e^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x \ln (e)$

خطوة 1.2.3.4

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x \cdot 1$

خطوة 1.2.3.5

اضرب $x$ في $1$ .

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x$

خطوة 1.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (7) + x = \ln (7 x) + x$

خطوة 1.2.5

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (7) - \ln (7 x) = - x + x$

خطوة 1.2.6

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{7}{7 x}) = - x + x$

خطوة 1.2.7

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (\frac{7}{7 x}) = - x + x$

خطوة 1.2.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (\frac{1}{x}) = - x + x$

خطوة 1.2.8

أضف $- x$ و $x$ .

$\ln (\frac{1}{x}) = 0$

خطوة 1.2.9

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{1}{x})} = e^{0}$

خطوة 1.2.10

أعِد كتابة $\ln (\frac{1}{x}) = 0$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{1}{x}$

خطوة 1.2.11

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.11.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{x} = e^{0}$ .

$\frac{1}{x} = e^{0}$

خطوة 1.2.11.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1}{x} = 1$

خطوة 1.2.11.3

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.11.3.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$x, 1 + y = 7 x e^{x}$

خطوة 1.2.11.3.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$x + y = 7 x e^{x}$

خطوة 1.2.11.4

اضرب كل حد في $\frac{1}{x} = 1$ في $x$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.11.4.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{x} = 1$ في $x$ .

$\frac{1}{x} x = 1 x$

خطوة 1.2.11.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.11.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.11.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x} x = 1 x$

خطوة 1.2.11.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = 1 x$

خطوة 1.2.11.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.11.4.3.1

اضرب $x$ في $1$ .

$1 = x$

خطوة 1.2.11.5

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x = 1$ .

$x = 1$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1$ .

$y = 7 (1) \cdot e^{1}$

خطوة 1.3.2

عوّض بـ $1$ عن $x$ في $y = 7 (1) \cdot e^{1}$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 7 (1) \cdot e$

خطوة 1.3.2.2

اضرب $7$ في $1$ .

$y = 7 e$

خطوة 1.4

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(1, 7 e)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{0}^{1} 7 x e^{x} d x - \int_{0}^{1} 7 e^{x} d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $0$ و $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} - (7 e^{x}) d x$

خطوة 3.2

اضرب $7$ في $- 1$ .

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} - 7 e^{x} d x$

خطوة 3.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} d x + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

خطوة 3.4

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $7$ خارج التكامل.

$7 \int_{0}^{1} x e^{x} d x + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

خطوة 3.5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{x}$ .

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x) + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

خطوة 3.6

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

خطوة 3.7

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 7$ خارج التكامل.

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 \int_{0}^{1} e^{x} d x$

خطوة 3.8

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

خطوة 3.9

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

احسِب قيمة $x e^{x}$ في $1$ وفي $0$ .

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

خطوة 3.9.2

احسِب قيمة $e^{x}$ في $1$ وفي $0$ .

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

خطوة 3.9.3

احسِب قيمة $e^{x}$ في $1$ وفي $0$ .

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

خطوة 3.9.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.4.1

بسّط.

$7 (1 e + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

خطوة 3.9.4.2

اضرب $e$ في $1$ .

$7 (e + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

خطوة 3.9.4.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$7 (e + 0 \cdot 1 - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

خطوة 3.9.4.4

اضرب $0$ في $1$ .

$7 (e + 0 - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

خطوة 3.9.4.5

أضف $e$ و $0$ .

$7 (e - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

خطوة 3.9.4.6

بسّط.

$7 (e - (e - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

خطوة 3.9.4.7

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$7 (e - (e - 1 \cdot 1)) - 7 (e^{1} - e^{0})$

خطوة 3.9.4.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e^{1} - e^{0})$

خطوة 3.9.4.9

بسّط.

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - e^{0})$

خطوة 3.9.4.10

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - 1 \cdot 1)$

خطوة 3.9.4.11

اضرب $- 1$ في $1$ .

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - 1)$

خطوة 3.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$7 (e - e - - 1) - 7 (e - 1)$

خطوة 3.10.1.1.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$7 (e - e + 1) - 7 (e - 1)$

خطوة 3.10.1.2

اطرح $e$ من $e$ .

$7 (0 + 1) - 7 (e - 1)$

خطوة 3.10.1.3

أضف $0$ و $1$ .

$7 \cdot 1 - 7 (e - 1)$

خطوة 3.10.1.4

اضرب $7$ في $1$ .

$7 - 7 (e - 1)$

خطوة 3.10.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$7 - 7 e - 7 \cdot - 1$

خطوة 3.10.1.6

اضرب $- 7$ في $- 1$ .

$7 - 7 e + 7$

خطوة 3.10.2

أضف $7$ و $7$ .

$14 - 7 e$

خطوة 4