حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 4 \sqrt{x}$ , $y = x$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$4 \sqrt{x} = x$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $4 \sqrt{x} = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${(4 \sqrt{x})}^{2} = x^{2}$

خطوة 1.2.2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(4 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

خطوة 1.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

بسّط ${(4 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

خطوة 1.2.2.2.1.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$16 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

خطوة 1.2.2.2.1.3

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

خطوة 1.2.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$16 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

خطوة 1.2.2.2.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$16 x^{1} = x^{2}$

خطوة 1.2.2.2.1.4

بسّط.

$16 x = x^{2}$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اطرح $x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$16 x - x^{2} = 0$

خطوة 1.2.3.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

لنفترض أن $u = x$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x$ .

$16 u - u^{2} = 0$

خطوة 1.2.3.2.2

أخرِج العامل $u$ من $16 u - u^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $u$ من $16 u$ .

$u \cdot 16 - u^{2} = 0$

خطوة 1.2.3.2.2.2

أخرِج العامل $u$ من $- u^{2}$ .

$u \cdot 16 + u (- u) = 0$

خطوة 1.2.3.2.2.3

أخرِج العامل $u$ من $u \cdot 16 + u (- u)$ .

$u (16 - u) = 0$

خطوة 1.2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x$ .

$x (16 - x) = 0$

خطوة 1.2.3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$16 - x = 0 + y = x$

خطوة 1.2.3.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 1.2.3.5

عيّن قيمة العبارة $16 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.5.1

عيّن قيمة $16 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$16 - x = 0$

خطوة 1.2.3.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $16 - x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.5.2.1

اطرح $16$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 16$

خطوة 1.2.3.5.2.2

اقسِم كل حد في $- x = - 16$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - 16$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

خطوة 1.2.3.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.5.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

خطوة 1.2.3.5.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 16}{- 1}$

خطوة 1.2.3.5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.5.2.2.3.1

اقسِم $- 16$ على $- 1$ .

$x = 16$

خطوة 1.2.3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x (16 - x) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 16$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$y = 0$

خطوة 1.3.2

احذِف الأقواس.

$y = 0$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $16$ .

$y = 16$

خطوة 1.4.2

احذِف الأقواس.

$y = 16$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(0, 0)$

$(16, 16)$

$(0, 0)$

$(16, 16)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{0}^{16} 4 \sqrt{x} d x - \int_{0}^{16} x d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $0$ و $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{0}^{16} 4 \sqrt{x} - (x) d x$

خطوة 3.2

اضرب $- 1$ في $x$ .

$\int_{0}^{16} 4 \sqrt{x} - x d x$

خطوة 3.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{16} 4 \sqrt{x} d x + \int_{0}^{16} - x d x$

خطوة 3.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int_{0}^{16} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{16} - x d x$

خطوة 3.5

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \int_{0}^{16} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{16} - x d x$

خطوة 3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{16}) + \int_{0}^{16} - x d x$

خطوة 3.7

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{16}) + \int_{0}^{16} - x d x$

خطوة 3.8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{16}) - \int_{0}^{16} x d x$

خطوة 3.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{16}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{16})$

خطوة 3.10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{16}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{16})$

خطوة 3.10.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.1

احسِب قيمة $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ في $16$ وفي $0$ .

$4 ((\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{16})$

خطوة 3.10.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $16$ وفي $0$ .

$4 (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{16^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$4 (\frac{2 \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{16^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{2 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{16^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 (\frac{2 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{16^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$4 (\frac{2 \cdot 4^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{16^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.4

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$4 (\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{16^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.5

اضرب $2$ في $64$ .

$4 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{16^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.6

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$4 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{16^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.7

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{16^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.8

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{16^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.8.2

أعِد كتابة العبارة.

$4 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}) - (\frac{16^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.9

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$4 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3}) - (\frac{16^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.10

اضرب $2$ في $0$ .

$4 (\frac{128}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{16^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.11

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.11.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$4 (\frac{128}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{16^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.11.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$4 (\frac{128}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{16^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 (\frac{128}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{16^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 (\frac{128}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{16^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.11.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$4 (\frac{128}{3} - 0) - (\frac{16^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.12

اضرب $- 1$ في $0$ .

$4 (\frac{128}{3} + 0) - (\frac{16^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.13

أضف $\frac{128}{3}$ و $0$ .

$4 (\frac{128}{3}) - (\frac{16^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.14

اجمع $4$ و $\frac{128}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 128}{3} - (\frac{16^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.15

اضرب $4$ في $128$ .

$\frac{512}{3} - (\frac{16^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.16

ارفع $16$ إلى القوة $2$ .

$\frac{512}{3} - (\frac{256}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.17

احذِف العامل المشترك لـ $256$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.17.1

أخرِج العامل $2$ من $256$ .

$\frac{512}{3} - (\frac{2 \cdot 128}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.17.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.17.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{512}{3} - (\frac{2 \cdot 128}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.17.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{512}{3} - (\frac{2 \cdot 128}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.17.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{512}{3} - (\frac{128}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.17.2.4

اقسِم $128$ على $1$ .

$\frac{512}{3} - (128 - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.18

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{512}{3} - (128 - \frac{0}{2})$

خطوة 3.10.2.3.19

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.19.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$\frac{512}{3} - (128 - \frac{2 (0)}{2})$

خطوة 3.10.2.3.19.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.19.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{512}{3} - (128 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 3.10.2.3.19.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{512}{3} - (128 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 3.10.2.3.19.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{512}{3} - (128 - \frac{0}{1})$

خطوة 3.10.2.3.19.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$\frac{512}{3} - (128 - 0)$

خطوة 3.10.2.3.20

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{512}{3} - (128 + 0)$

خطوة 3.10.2.3.21

أضف $128$ و $0$ .

$\frac{512}{3} - 1 \cdot 128$

خطوة 3.10.2.3.22

اضرب $- 1$ في $128$ .

$\frac{512}{3} - 128$

خطوة 3.10.2.3.23

لكتابة $- 128$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{512}{3} - 128 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 3.10.2.3.24

اجمع $- 128$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{512}{3} + \frac{- 128 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.10.2.3.25

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{512 - 128 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.10.2.3.26

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.26.1

اضرب $- 128$ في $3$ .

$\frac{512 - 384}{3}$

خطوة 3.10.2.3.26.2

اطرح $384$ من $512$ .

$\frac{128}{3}$

خطوة 4