حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 5 x - 10 \cos (x)$

خطوة 1

عيّن $y$ كدالة لـ $x$ .

$f (x) = 5 x - 10 \cos (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x - 10 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

خطوة 2.2.3

اضرب $5$ في $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 10 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 10 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$5 - 10 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 2.3.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$5 - 10 (- \sin (x))$

خطوة 2.3.3

اضرب $- 1$ في $- 10$ .

$5 + 10 \sin (x)$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $5 + 10 \sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$10 \sin (x) = - 5$

خطوة 3.2

اقسِم كل حد في $10 \sin (x) = - 5$ على $10$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اقسِم كل حد في $10 \sin (x) = - 5$ على $10$ .

$\frac{10 \sin (x)}{10} = \frac{- 5}{10}$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{10 \sin (x)}{10} = \frac{- 5}{10}$

خطوة 3.2.2.1.2

اقسِم $\sin (x)$ على $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 5}{10}$

خطوة 3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 5$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1.1

أخرِج العامل $5$ من $- 5$ .

$\sin (x) = \frac{5 (- 1)}{10}$

خطوة 3.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $5$ من $10$ .

$\sin (x) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 2}$

خطوة 3.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (x) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 2}$

خطوة 3.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.2.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

خطوة 3.3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

خطوة 3.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- \frac{1}{2})$ هي $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

خطوة 3.5

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

خطوة 3.6

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

خطوة 3.6.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{7 π}{6}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

خطوة 3.7

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.8

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

اجمع $2 π$ مع $- \frac{π}{6}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

خطوة 3.8.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 3.8.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1

اجمع $2 π$ و $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 3.8.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

خطوة 3.8.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.4.1

اضرب $6$ في $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

خطوة 3.8.4.2

اطرح $π$ من $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

خطوة 3.8.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{11 π}{6}$

خطوة 3.9

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = 5 x - 10 \cos (x)$ عند $x = \frac{7 π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{7 π}{6}$ في العبارة.

$f (\frac{7 π}{6}) = 5 (\frac{7 π}{6}) - 10 \cos (\frac{7 π}{6})$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اضرب $5 (\frac{7 π}{6})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

اجمع $5$ و $\frac{7 π}{6}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{5 (7 π)}{6} - 10 \cos (\frac{7 π}{6})$

خطوة 4.2.1.1.2

اضرب $7$ في $5$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{35 π}{6} - 10 \cos (\frac{7 π}{6})$

خطوة 4.2.1.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثالث.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{35 π}{6} - 10 (- \cos (\frac{π}{6}))$

خطوة 4.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{35 π}{6} - 10 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 4.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{35 π}{6} - 10 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.2.1.4.2

أخرِج العامل $2$ من $- 10$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{35 π}{6} + 2 (- 5) (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

خطوة 4.2.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{35 π}{6} + 2 \cdot (- 5 \frac{- \sqrt{3}}{2})$

خطوة 4.2.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{35 π}{6} - 5 (- \sqrt{3})$

خطوة 4.2.1.5

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{35 π}{6} + 5 \sqrt{3}$

خطوة 4.2.2

الإجابة النهائية هي $\frac{35 π}{6} + 5 \sqrt{3}$ .

$\frac{35 π}{6} + 5 \sqrt{3}$

خطوة 5

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = 5 x - 10 \cos (x)$ عند $x = \frac{11 π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{11 π}{6}$ في العبارة.

$f (\frac{11 π}{6}) = 5 (\frac{11 π}{6}) - 10 \cos (\frac{11 π}{6})$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

اضرب $5 (\frac{11 π}{6})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

اجمع $5$ و $\frac{11 π}{6}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{5 (11 π)}{6} - 10 \cos (\frac{11 π}{6})$

خطوة 5.2.1.1.2

اضرب $11$ في $5$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{55 π}{6} - 10 \cos (\frac{11 π}{6})$

خطوة 5.2.1.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{55 π}{6} - 10 \cos (\frac{π}{6})$

خطوة 5.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{55 π}{6} - 10 \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 5.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 10$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{55 π}{6} + 2 (- 5) (\frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 5.2.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{55 π}{6} + 2 \cdot (- 5 \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 5.2.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{55 π}{6} - 5 \sqrt{3}$

خطوة 5.2.2

الإجابة النهائية هي $\frac{55 π}{6} - 5 \sqrt{3}$ .

$\frac{55 π}{6} - 5 \sqrt{3}$

خطوة 6

خطوط المماس الأفقية في الدالة $f (x) = 5 x - 10 \cos (x)$ هي $y = \frac{35 π}{6} + 5 \sqrt{3}, y = \frac{55 π}{6} - 5 \sqrt{3}$ .

$y = \frac{35 π}{6} + 5 \sqrt{3}, y = \frac{55 π}{6} - 5 \sqrt{3}$

خطوة 7