حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

خطوة 1.2.3

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

خطوة 1.2.4

اجمع $\frac{2}{2}$ و $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

خطوة 1.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

خطوة 1.2.5.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$x - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 1.3.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$x - \frac{1}{x}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - \frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x})$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x})$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = - 1$ و $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 1 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 1 - \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

خطوة 2.2.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

خطوة 2.2.6

اضرب $x^{- 2}$ في $1$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

خطوة 2.2.7

اضرب $\frac{1}{x}$ في $0$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2} + 0$

خطوة 2.2.8

أضف $x^{- 2}$ و $0$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2}$

خطوة 2.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 1$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$x - \frac{1}{x} = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

خطوة 4.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

خطوة 4.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

خطوة 4.1.2.3

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

خطوة 4.1.2.4

اجمع $\frac{2}{2}$ و $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

خطوة 4.1.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

خطوة 4.1.2.5.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

خطوة 4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$x - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 4.1.3.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x - \frac{1}{x}$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $x - \frac{1}{x}$ .

$x - \frac{1}{x}$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $x - \frac{1}{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - \frac{1}{x} = 0$

خطوة 5.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$1, x, 1$

خطوة 5.2.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$x$

خطوة 5.3

اضرب كل حد في $x - \frac{1}{x} = 0$ في $x$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب كل حد في $x - \frac{1}{x} = 0$ في $x$ .

$x \cdot x - \frac{1}{x} x = 0 x$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$x^{2} - \frac{1}{x} x = 0 x$

خطوة 5.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{x}$ إلى بسط الكسر.

$x^{2} + \frac{- 1}{x} x = 0 x$

خطوة 5.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} + \frac{- 1}{x} x = 0 x$

خطوة 5.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} - 1 = 0 x$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اضرب $0$ في $x$ .

$x^{2} - 1 = 0$

خطوة 5.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} = 1$

خطوة 5.4.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{1}$

خطوة 5.4.3

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm 1$

خطوة 5.4.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 1$

خطوة 5.4.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 1$

خطوة 5.4.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 1, - 1$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1}{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x = 0$

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 1$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 1$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{1}{{(1)}^{2}} + 1$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{1} + 1$

خطوة 9.1.2

اقسِم $1$ على $1$ .

$1 + 1$

خطوة 9.2

أضف $1$ و $1$ .

$2$

خطوة 10

$x = 1$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 1$ هي حد أدنى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{2} - \ln (1)$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = \frac{1}{2} - \ln (1)$

خطوة 11.2.1.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$f (1) = \frac{1}{2} - 0$

خطوة 11.2.1.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + 0$

خطوة 11.2.2

أضف $\frac{1}{2}$ و $0$ .

$f (1) = \frac{1}{2}$

خطوة 11.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

خطوة 12

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = \frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ .

$(1, \frac{1}{2})$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 13