حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 27 - x^{3}$ , $[1, 3]$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$27 - x^{3} = 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $27 - x^{3} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اطرح $27$ من كلا المتعادلين.

$- x^{3} = - 27$

خطوة 1.2.2

أضف $27$ إلى كلا المتعادلين.

$- x^{3} + 27 = 0$

خطوة 1.2.3

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{3} + 27$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{3}$ .

$- (x^{3}) + 27 = 0$

خطوة 1.2.3.1.2

أعِد كتابة $27$ بالصيغة $- 1 (- 27)$ .

$- (x^{3}) - 1 \cdot - 27 = 0$

خطوة 1.2.3.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{3}) - 1 (- 27)$ .

$- (x^{3} - 27) = 0$

خطوة 1.2.3.2

أعِد كتابة $27$ بالصيغة $3^{3}$ .

$- (x^{3} - 3^{3}) = 0$

خطوة 1.2.3.3

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = x$ و $b = 3$ .

$- ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

خطوة 1.2.3.4

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.4.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.4.1.1

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$- ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) = 0$

خطوة 1.2.3.4.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$- ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) = 0$

خطوة 1.2.3.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

خطوة 1.2.4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 9 = 0 + y = 0$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 3 = 0$

خطوة 1.2.5.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 1.2.6

عيّن قيمة العبارة $x^{2} + 3 x + 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

عيّن قيمة $x^{2} + 3 x + 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

خطوة 1.2.6.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} + 3 x + 9 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 0$

خطوة 1.2.6.2.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 3$ و $c = 9$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1} + y = 0$

خطوة 1.2.6.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.3.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.6.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.6.2.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.6.2.3.1.3

اطرح $36$ من $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.6.2.3.1.4

أعِد كتابة $- 27$ بالصيغة $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.6.2.3.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (27)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.6.2.3.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.6.2.3.1.7

أعِد كتابة $27$ بالصيغة $3^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.3.1.7.1

أخرِج العامل $9$ من $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.6.2.3.1.7.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.6.2.3.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.6.2.3.1.9

انقُل $3$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.6.2.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.2.6.2.4

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.4.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.6.2.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.6.2.4.1.2.2

اضرب $- 4$ في $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.6.2.4.1.3

اطرح $36$ من $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.6.2.4.1.4

أعِد كتابة $- 27$ بالصيغة $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.6.2.4.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (27)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.6.2.4.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.6.2.4.1.7

أعِد كتابة $27$ بالصيغة $3^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.4.1.7.1

أخرِج العامل $9$ من $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.6.2.4.1.7.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.6.2.4.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.6.2.4.1.9

انقُل $3$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.6.2.4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.2.6.2.4.3

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.2.6.2.4.4

أعِد كتابة $- 3$ بالصيغة $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.2.6.2.4.5

أخرِج العامل $- 1$ من $3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{2}$

خطوة 1.2.6.2.4.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{2}$

خطوة 1.2.6.2.4.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.2.6.2.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.5.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.6.2.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.6.2.5.1.2.2

اضرب $- 4$ في $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.6.2.5.1.3

اطرح $36$ من $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.6.2.5.1.4

أعِد كتابة $- 27$ بالصيغة $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.6.2.5.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (27)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.6.2.5.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.6.2.5.1.7

أعِد كتابة $27$ بالصيغة $3^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.5.1.7.1

أخرِج العامل $9$ من $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.6.2.5.1.7.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.6.2.5.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.6.2.5.1.9

انقُل $3$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.6.2.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.2.6.2.5.3

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.2.6.2.5.4

أعِد كتابة $- 3$ بالصيغة $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.2.6.2.5.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{2}$

خطوة 1.2.6.2.5.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{2}$

خطوة 1.2.6.2.5.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.2.6.2.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.2.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ صحيحة.

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.3

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $3$ .

$y = 0$

خطوة 1.4

اسرِد جميع الحلول.

$y = 0, x = 3$

$y = 0, x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = 3$

$y = 0, x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 2

أعِد ترتيب $27$ و $- x^{3}$ .

$y = - x^{3} + 27$

خطوة 3

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{1}^{3} - x^{3} + 27 d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $1$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{1}^{3} - x^{3} + 27 - (0) d x$

خطوة 4.2

اطرح $0$ من $- x^{3} + 27$ .

$\int_{1}^{3} - x^{3} + 27 d x$

خطوة 4.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{1}^{3} - x^{3} d x + \int_{1}^{3} 27 d x$

خطوة 4.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} 27 d x$

خطوة 4.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 27 d x$

خطوة 4.6

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 27 d x$

خطوة 4.7

طبّق قاعدة الثابت.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + 27 x]_{1}^{3}$

خطوة 4.8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

احسِب قيمة $\frac{x^{4}}{4}$ في $3$ وفي $1$ .

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + 27 x]_{1}^{3}$

خطوة 4.8.2

احسِب قيمة $27 x$ في $3$ وفي $1$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

خطوة 4.8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.3.1

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

خطوة 4.8.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- (\frac{81}{4} - \frac{1}{4}) + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

خطوة 4.8.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{81 - 1}{4} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

خطوة 4.8.3.4

اطرح $1$ من $81$ .

$- \frac{80}{4} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

خطوة 4.8.3.5

احذِف العامل المشترك لـ $80$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.3.5.1

أخرِج العامل $4$ من $80$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

خطوة 4.8.3.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.3.5.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4 (1)} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

خطوة 4.8.3.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

خطوة 4.8.3.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{20}{1} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

خطوة 4.8.3.5.2.4

اقسِم $20$ على $1$ .

$- 1 \cdot 20 + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

خطوة 4.8.3.6

اضرب $- 1$ في $20$ .

$- 20 + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

خطوة 4.8.3.7

اضرب $27$ في $3$ .

$- 20 + 81 - 27 \cdot 1$

خطوة 4.8.3.8

اضرب $- 27$ في $1$ .

$- 20 + 81 - 27$

خطوة 4.8.3.9

اطرح $27$ من $81$ .

$- 20 + 54$

خطوة 4.8.3.10

أضف $- 20$ و $54$ .

$34$

خطوة 5