حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (t) = \frac{25}{t^{2}} - \frac{5}{t}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{25}{t^{2}} - \frac{5}{t}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [\frac{25}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{t}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{25}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{t}]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [\frac{25}{t^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{25}{t^{2}}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $25 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

$25 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{t}]$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{t^{2}}$ بالصيغة ${(t^{2})}^{- 1}$ .

$25 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{t}]$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{- 1}$ و $g (t) = t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $t^{2}$ .

$25 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{t}]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$25 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{t}]$

خطوة 1.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $t^{2}$ .

$25 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{t}]$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$25 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t)) + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{t}]$

خطوة 1.2.5

اضرب الأُسس في ${(t^{2})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t)) + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{t}]$

خطوة 1.2.5.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$25 (- t^{- 4} (2 t)) + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{t}]$

خطوة 1.2.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$25 (- 2 t^{- 4} t) + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{t}]$

خطوة 1.2.7

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$25 (- 2 (t^{1} t^{- 4})) + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{t}]$

خطوة 1.2.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$25 (- 2 t^{1 - 4}) + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{t}]$

خطوة 1.2.9

اطرح $4$ من $1$ .

$25 (- 2 t^{- 3}) + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{t}]$

خطوة 1.2.10

اضرب $- 2$ في $25$ .

$- 50 t^{- 3} + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{t}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [- \frac{5}{t}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- \frac{5}{t}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- 5 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

$- 50 t^{- 3} - 5 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

خطوة 1.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{t}$ بالصيغة $t^{- 1}$ .

$- 50 t^{- 3} - 5 \frac{d}{d t} [t^{- 1}]$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- 50 t^{- 3} - 5 (- t^{- 2})$

خطوة 1.3.4

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$- 50 t^{- 3} + 5 t^{- 2}$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 50 \frac{1}{t^{3}} + 5 t^{- 2}$

خطوة 1.4.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 50 \frac{1}{t^{3}} + 5 \frac{1}{t^{2}}$

خطوة 1.4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

اجمع $- 50$ و $\frac{1}{t^{3}}$ .

$\frac{- 50}{t^{3}} + 5 \frac{1}{t^{2}}$

خطوة 1.4.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{50}{t^{3}} + 5 \frac{1}{t^{2}}$

خطوة 1.4.3.3

اجمع $5$ و $\frac{1}{t^{2}}$ .

$- \frac{50}{t^{3}} + \frac{5}{t^{2}}$

خطوة 1.4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (t) = \frac{5}{t^{2}} - \frac{50}{t^{3}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{5}{t^{2}} - \frac{50}{t^{3}}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{50}{t^{3}}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{50}{t^{3}}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{5}{t^{2}}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $5 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{50}{t^{3}}]$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{t^{2}}$ بالصيغة ${(t^{2})}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- \frac{50}{t^{3}}]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{- 1}$ و $g (t) = t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $t^{2}$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{50}{t^{3}}]$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$5 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{50}{t^{3}}]$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $t^{2}$ .

$5 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{50}{t^{3}}]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$5 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t)) + \frac{d}{d t} [- \frac{50}{t^{3}}]$

خطوة 2.2.5

اضرب الأُسس في ${(t^{2})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t)) + \frac{d}{d t} [- \frac{50}{t^{3}}]$

خطوة 2.2.5.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$5 (- t^{- 4} (2 t)) + \frac{d}{d t} [- \frac{50}{t^{3}}]$

خطوة 2.2.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$5 (- 2 t^{- 4} t) + \frac{d}{d t} [- \frac{50}{t^{3}}]$

خطوة 2.2.7

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$5 (- 2 (t^{1} t^{- 4})) + \frac{d}{d t} [- \frac{50}{t^{3}}]$

خطوة 2.2.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$5 (- 2 t^{1 - 4}) + \frac{d}{d t} [- \frac{50}{t^{3}}]$

خطوة 2.2.9

اطرح $4$ من $1$ .

$5 (- 2 t^{- 3}) + \frac{d}{d t} [- \frac{50}{t^{3}}]$

خطوة 2.2.10

اضرب $- 2$ في $5$ .

$- 10 t^{- 3} + \frac{d}{d t} [- \frac{50}{t^{3}}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [- \frac{50}{t^{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 50$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- \frac{50}{t^{3}}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- 50 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{3}}]$ .

$- 10 t^{- 3} - 50 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{3}}]$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{t^{3}}$ بالصيغة ${(t^{3})}^{- 1}$ .

$- 10 t^{- 3} - 50 \frac{d}{d t} [{(t^{3})}^{- 1}]$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{- 1}$ و $g (t) = t^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $t^{3}$ .

$- 10 t^{- 3} - 50 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{3}])$

خطوة 2.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- 10 t^{- 3} - 50 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}])$

خطوة 2.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $t^{3}$ .

$- 10 t^{- 3} - 50 (- {(t^{3})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}])$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- 10 t^{- 3} - 50 (- {(t^{3})}^{- 2} (3 t^{2}))$

خطوة 2.3.5

اضرب الأُسس في ${(t^{3})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 10 t^{- 3} - 50 (- t^{3 \cdot - 2} (3 t^{2}))$

خطوة 2.3.5.2

اضرب $3$ في $- 2$ .

$- 10 t^{- 3} - 50 (- t^{- 6} (3 t^{2}))$

خطوة 2.3.6

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- 10 t^{- 3} - 50 (- 3 t^{- 6} t^{2})$

خطوة 2.3.7

اضرب $t^{- 6}$ في $t^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

انقُل $t^{2}$ .

$- 10 t^{- 3} - 50 (- 3 (t^{2} t^{- 6}))$

خطوة 2.3.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 10 t^{- 3} - 50 (- 3 t^{2 - 6})$

خطوة 2.3.7.3

اطرح $6$ من $2$ .

$- 10 t^{- 3} - 50 (- 3 t^{- 4})$

خطوة 2.3.8

اضرب $- 3$ في $- 50$ .

$- 10 t^{- 3} + 150 t^{- 4}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 10 \frac{1}{t^{3}} + 150 t^{- 4}$

خطوة 2.4.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 10 \frac{1}{t^{3}} + 150 \frac{1}{t^{4}}$

خطوة 2.4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

اجمع $- 10$ و $\frac{1}{t^{3}}$ .

$\frac{- 10}{t^{3}} + 150 \frac{1}{t^{4}}$

خطوة 2.4.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{10}{t^{3}} + 150 \frac{1}{t^{4}}$

خطوة 2.4.3.3

اجمع $150$ و $\frac{1}{t^{4}}$ .

$f'' (t) = - \frac{10}{t^{3}} + \frac{150}{t^{4}}$

خطوة 3

المشتق الثاني لـ $f (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $- \frac{10}{t^{3}} + \frac{150}{t^{4}}$ .

$- \frac{10}{t^{3}} + \frac{150}{t^{4}}$