حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x \cos (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \cos (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1$

خطوة 1.3.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

$x (- \sin (x)) + \cos (x)$

خطوة 1.3.2.2

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = - x \sin (x) + \cos (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x \sin (x) + \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \sin (x)$ .

$- (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 2.2.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$- (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 2.2.5

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$- (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 2.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- (x \cos (x) + \sin (x)) - \sin (x)$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- (x \cos (x)) - \sin (x) - \sin (x)$

خطوة 2.4.2

اطرح $\sin (x)$ من $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - x \cos (x) - 2 \sin (x)$

خطوة 3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x \cos (x) - 2 \sin (x)$ .

$- x \cos (x) - 2 \sin (x)$