حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sin (\frac{x}{4})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \frac{x}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{4}$ .

$\cos (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{4}) (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.2.2

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\cos (\frac{x}{4})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{4})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{4})}{4} \cdot 1$

خطوة 1.2.4

اضرب $\frac{\cos (\frac{x}{4})}{4}$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{4})}{4}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{\cos (\frac{x}{4})}{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{4})]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{4})]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = \frac{x}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}])$

خطوة 2.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{4} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}])$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{4} (- \sin (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\sin (\frac{x}{4})$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{4})}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

خطوة 2.3.2

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{4})}{4} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.3.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{\sin (\frac{x}{4})}{4}$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{4})}{4 \cdot 4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.3.2

اضرب $4$ في $4$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{4})}{16} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{4})}{16} \cdot 1$

خطوة 2.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{4})}{16}$

خطوة 3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{\sin (\frac{x}{4})}{16}$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{4})}{16}$