حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \cos (\frac{π x}{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = \frac{π x}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{π x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{π x}{2}$ .

$- \sin (\frac{π x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $\frac{π}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{π x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{π x}{2}) (\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.2.2

اجمع $\frac{π}{2}$ و $\sin (\frac{π x}{2})$ .

$- \frac{π \sin (\frac{π x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{π \sin (\frac{π x}{2})}{2} \cdot 1$

خطوة 1.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (x) = - \frac{π \sin (\frac{π x}{2})}{2}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $- \frac{π}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{π \sin (\frac{π x}{2})}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{π}{2} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π x}{2})]$ .

$- \frac{π}{2} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π x}{2})]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \frac{π x}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{π x}{2}$ .

$- \frac{π}{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}])$

خطوة 2.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$- \frac{π}{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}])$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{π x}{2}$ .

$- \frac{π}{2} (\cos (\frac{π x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اجمع $\cos (\frac{π x}{2})$ و $\frac{π}{2}$ .

$- \frac{\cos (\frac{π x}{2}) π}{2} \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

خطوة 2.3.2

بما أن $\frac{π}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{π x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\cos (\frac{π x}{2}) π}{2} (\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.3.3

اضرب $\frac{π}{2}$ في $\frac{\cos (\frac{π x}{2}) π}{2}$ .

$- \frac{π (\cos (\frac{π x}{2}) π)}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.4

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{π^{1} π \cos (\frac{π x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.5

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{π^{1} π^{1} \cos (\frac{π x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{π^{1 + 1} \cos (\frac{π x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

أضف $1$ و $1$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.7.2

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π x}{2})}{4} \cdot 1$

خطوة 2.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (x) = - \frac{π^{2} \cos (\frac{π x}{2})}{4}$

خطوة 3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{π^{2} \cos (\frac{π x}{2})}{4}$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π x}{2})}{4}$