حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 12 x^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 2 x^{4} + 8 x^{3} - 12 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$- 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $4$ في $- 2$ .

$- 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 8 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- 8 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $3$ في $8$ .

$- 8 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 8 x^{3} + 24 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 8 x^{3} + 24 x^{2} - 12 (2 x)$

خطوة 1.1.4.3

اضرب $2$ في $- 12$ .

$f' (x) = - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 24 x$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 8 x^{3} + 24 x^{2} - 24 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 8 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $3$ في $- 8$ .

$- 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $24 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 24 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 24 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $2$ في $24$ .

$- 24 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

خطوة 1.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

بما أن $- 24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 24 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 24 x^{2} + 48 x - 24 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 24 x^{2} + 48 x - 24 \cdot 1$

خطوة 1.2.4.3

اضرب $- 24$ في $1$ .

$f'' (x) = - 24 x^{2} + 48 x - 24$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 24 x^{2} + 48 x - 24$ .

$- 24 x^{2} + 48 x - 24$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- 24 x^{2} + 48 x - 24 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 24 x^{2} + 48 x - 24 = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $- 24$ من $- 24 x^{2} + 48 x - 24$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $- 24$ من $- 24 x^{2}$ .

$- 24 x^{2} + 48 x - 24 = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $- 24$ من $48 x$ .

$- 24 x^{2} - 24 (- 2 x) - 24 = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $- 24$ من $- 24$ .

$- 24 x^{2} - 24 (- 2 x) - 24 \cdot 1 = 0$

خطوة 2.2.1.4

أخرِج العامل $- 24$ من $- 24 (x^{2}) - 24 (- 2 x)$ .

$- 24 (x^{2} - 2 x) - 24 \cdot 1 = 0$

خطوة 2.2.1.5

أخرِج العامل $- 24$ من $- 24 (x^{2} - 2 x) - 24 (1)$ .

$- 24 (x^{2} - 2 x + 1) = 0$

خطوة 2.2.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$- 24 (x^{2} - 2 x + 1^{2}) = 0$

خطوة 2.2.2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

خطوة 2.2.2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$- 24 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

خطوة 2.2.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$- 24 {(x - 1)}^{2} = 0$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $- 24 {(x - 1)}^{2} = 0$ على $- 24$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $- 24 {(x - 1)}^{2} = 0$ على $- 24$ .

$\frac{- 24 {(x - 1)}^{2}}{- 24} = \frac{0}{- 24}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 24$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 24 {(x - 1)}^{2}}{- 24} = \frac{0}{- 24}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم ${(x - 1)}^{2}$ على $1$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{- 24}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اقسِم $0$ على $- 24$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 2.5

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $1$ في $f (x) = - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 12 x^{2}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = - 2 {(1)}^{4} + 8 {(1)}^{3} - 12 {(1)}^{2}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = - 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3} - 12 {(1)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f (1) = - 2 + 8 {(1)}^{3} - 12 {(1)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = - 2 + 8 \cdot 1 - 12 {(1)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.4

اضرب $8$ في $1$ .

$f (1) = - 2 + 8 - 12 {(1)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = - 2 + 8 - 12 \cdot 1$

خطوة 3.1.2.1.6

اضرب $- 12$ في $1$ .

$f (1) = - 2 + 8 - 12$

خطوة 3.1.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1

أضف $- 2$ و $8$ .

$f (1) = 6 - 12$

خطوة 3.1.2.2.2

اطرح $12$ من $6$ .

$f (1) = - 6$

خطوة 3.1.2.3

الإجابة النهائية هي $- 6$ .

$- 6$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $1$ في $f (x) = - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 12 x^{2}$ هي $(1, - 6)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(1, - 6)$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 1)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.9$ في العبارة.

$f'' (0.9) = - 24 {(0.9)}^{2} + 48 (0.9) - 24$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $0.9$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.9) = - 24 \cdot 0.81 + 48 (0.9) - 24$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 24$ في $0.81$ .

$f'' (0.9) = - 19.44 + 48 (0.9) - 24$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $48$ في $0.9$ .

$f'' (0.9) = - 19.44 + 43.2 - 24$

خطوة 5.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أضف $- 19.44$ و $43.2$ .

$f'' (0.9) = 23.76 - 24$

خطوة 5.2.2.2

اطرح $24$ من $23.76$ .

$f'' (0.9) = - 0.24$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 0.24$ .

$- 0.24$

خطوة 5.3

المشتق الثاني عند $0.9$ يساوي $- 0.24$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, 1)$

تناقص خلال $(- \infty, 1)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(1, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.1$ في العبارة.

$f'' (1.1) = - 24 {(1.1)}^{2} + 48 (1.1) - 24$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $1.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1.1) = - 24 \cdot 1.21 + 48 (1.1) - 24$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 24$ في $1.21$ .

$f'' (1.1) = - 29.04 + 48 (1.1) - 24$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $48$ في $1.1$ .

$f'' (1.1) = - 29.04 + 52.8 - 24$

خطوة 6.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أضف $- 29.04$ و $52.8$ .

$f'' (1.1) = 23.76 - 24$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $24$ من $23.76$ .

$f'' (1.1) = - 0.24$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 0.24$ .

$- 0.24$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $1.1$ يساوي $- 0.24$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(1, \infty)$

تناقص خلال $(1, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. لا توجد نقاط على الرسم البياني تستوفي هذه المتطلبات.

لا توجد نقاط انقلاب