حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 0.866 x + \sin (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $0.866 x + \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [0.866 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [0.866 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [0.866 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $0.866$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $0.866 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $0.866 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.866 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0.866 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $0.866$ في $1$ .

$0.866 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.1.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$f' (x) = 0.866 + \cos (x)$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $0.866 + \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [0.866] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [0.866] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 1.2.1.2

بما أن $0.866$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $0.866$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 1.2.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$0 - \sin (x)$

خطوة 1.2.3

اطرح $\sin (x)$ من $0$ .

$f'' (x) = - \sin (x)$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- \sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \sin (x) = 0$

خطوة 2.2

اقسِم كل حد في $- \sin (x) = 0$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اقسِم كل حد في $- \sin (x) = 0$ على $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

خطوة 2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{0}{- 1}$

خطوة 2.2.2.2

اقسِم $\sin (x)$ على $1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{- 1}$

خطوة 2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اقسِم $0$ على $- 1$ .

$\sin (x) = 0$

خطوة 2.3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (0)$

خطوة 2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.5

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - 0$

خطوة 2.6

اطرح $0$ من $π$ .

$x = π$

خطوة 2.7

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 2.8

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.9

وحّد الإجابات.

$x = π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ في $f (x) = 0.866 x + \sin (x)$ هي $(,)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(,)$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty,)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.1$ في العبارة.

$f'' (- 0.1) = - \sin (- 0.1)$

خطوة 5.2

الإجابة النهائية هي $- \sin (- 0.1)$ .

$- \sin (- 0.1)$

خطوة 5.3

في $- 0.1$ ، المشتق الثاني هو $0.09983341$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty,)$ .

تزايد خلال $(- \infty,)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.1$ في العبارة.

$f'' (0.1) = - \sin (0.1)$

خطوة 6.2

الإجابة النهائية هي $- \sin (0.1)$ .

$- \sin (0.1)$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $0.1$ يساوي $- 0.09983341$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(, \infty)$

تناقص خلال $(, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(,)$ .

$(,)$

خطوة 8