حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin (x + y) = 2 x - 2 y$ , $(π, π)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = π$ و $y = π$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\sin (x + y)) = \frac{d}{d x} (2 x - 2 y)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = x + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 1.2.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 1.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\cos (x + y) (1 + y')$

خطوة 1.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 2 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

خطوة 1.3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

خطوة 1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

خطوة 1.3.2.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

خطوة 1.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 - 2 \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.3.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 - 2 y'$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\cos (x + y) (1 + y') = 2 - 2 y'$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

بسّط $\cos (x + y) (1 + y')$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1.1

أعِد الكتابة.

$0 + 0 + \cos (x + y) (1 + y') = 2 - 2 y'$

خطوة 1.5.1.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$\cos (x + y) (1 + y') = 2 - 2 y'$

خطوة 1.5.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\cos (x + y) \cdot 1 + \cos (x + y) y' = 2 - 2 y'$

خطوة 1.5.1.1.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1.4.1

اضرب $\cos (x + y)$ في $1$ .

$\cos (x + y) + \cos (x + y) y' = 2 - 2 y'$

خطوة 1.5.1.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $\cos (x + y) + \cos (x + y) y'$ .

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) = 2 - 2 y'$

خطوة 1.5.2

أضف $2 y'$ إلى كلا المتعادلين.

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) + 2 y' = 2$

خطوة 1.5.3

اطرح $\cos (x + y)$ من كلا المتعادلين.

$y' \cos (x + y) + 2 y' = 2 - \cos (x + y)$

خطوة 1.5.4

أخرِج العامل $y'$ من $y' \cos (x + y) + 2 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

أخرِج العامل $y'$ من $y' \cos (x + y)$ .

$y' (\cos (x + y)) + 2 y' = 2 - \cos (x + y)$

خطوة 1.5.4.2

أخرِج العامل $y'$ من $2 y'$ .

$y' (\cos (x + y)) + y' \cdot 2 = 2 - \cos (x + y)$

خطوة 1.5.4.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (\cos (x + y)) + y' \cdot 2$ .

$y' (\cos (x + y) + 2) = 2 - \cos (x + y)$

خطوة 1.5.5

اقسِم كل حد في $y' (\cos (x + y) + 2) = 2 - \cos (x + y)$ على $\cos (x + y) + 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1

اقسِم كل حد في $y' (\cos (x + y) + 2) = 2 - \cos (x + y)$ على $\cos (x + y) + 2$ .

$\frac{y' (\cos (x + y) + 2)}{\cos (x + y) + 2} = \frac{2}{\cos (x + y) + 2} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

خطوة 1.5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x + y) + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (\cos (x + y) + 2)}{\cos (x + y) + 2} = \frac{2}{\cos (x + y) + 2} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

خطوة 1.5.5.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{2}{\cos (x + y) + 2} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

خطوة 1.5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{2}{\cos (x + y) + 2} - \frac{\cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

خطوة 1.5.5.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{2 - \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 - \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = π$ و $y = π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $π$ في العبارة.

$\frac{2 - \cos ((π) + y)}{\cos ((π) + y) + 2}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $π$ في العبارة.

$\frac{2 - \cos (π + π)}{\cos (π + π) + 2}$

خطوة 1.7.3

احذِف الأقواس.

$\frac{2 - \cos (π + π)}{\cos (π + π) + 2}$

خطوة 1.7.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

أضف $π$ و $π$ .

$\frac{2 - \cos (2 π)}{\cos (π + π) + 2}$

خطوة 1.7.4.2

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\frac{2 - \cos (0)}{\cos (π + π) + 2}$

خطوة 1.7.4.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 1}{\cos (π + π) + 2}$

خطوة 1.7.4.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 - 1}{\cos (π + π) + 2}$

خطوة 1.7.4.5

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{1}{\cos (π + π) + 2}$

خطوة 1.7.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.1

أضف $π$ و $π$ .

$\frac{1}{\cos (2 π) + 2}$

خطوة 1.7.5.2

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\frac{1}{\cos (0) + 2}$

خطوة 1.7.5.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{1}{1 + 2}$

خطوة 1.7.5.4

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{1}{3}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{1}{3}$ ونقطة مُعطاة $(π, π)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (π) = \frac{1}{3} \cdot (x - (π))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - π = \frac{1}{3} \cdot (x - π)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{1}{3} \cdot (x - π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - π = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - π)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - π = \frac{1}{3} \cdot (x - π)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - π = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} (- π)$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x$ .

$y - π = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} (- π)$

خطوة 2.3.1.5

اجمع $\frac{1}{3}$ و $π$ .

$y - π = \frac{x}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $π$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{x}{3} - \frac{π}{3} + π$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{π}{3} + π \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع $π$ و $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{π}{3} + \frac{π \cdot 3}{3}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- π + π \cdot 3}{3}$

خطوة 2.3.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{x - π + π \cdot 3}{3}$

خطوة 2.3.2.6

انقُل $3$ إلى يسار $π$ .

$y = \frac{x - π + 3 π}{3}$

خطوة 2.3.2.7

أضف $- π$ و $3 π$ .

$y = \frac{x + 2 π}{3}$

خطوة 2.3.2.8

قسّم الكسر $\frac{x + 2 π}{3}$ إلى كسرين.

$y = \frac{x}{3} + \frac{2 π}{3}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{2 π}{3}$

خطوة 3