حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{5}}$ , $(- 2, - \frac{1}{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = - 2$ و $y = - \frac{1}{2}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = {(x^{2} - 6)}^{5}$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{({(x^{2} - 6)}^{5})}^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} - 6)}^{5})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{(x^{2} - 6)}^{5 \cdot 2}}$

خطوة 1.2.1.2

اضرب $5$ في $2$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

خطوة 1.2.3

انقُل $4$ إلى يسار ${(x^{2} - 6)}^{5}$ .

$\frac{4 \cdot {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{5}$ و $g (x) = x^{2} - 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} - 6$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - x^{4} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

خطوة 1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 6$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - x^{4} (5 {(x^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اضرب $5$ في $- 1$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

خطوة 1.4.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

خطوة 1.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

خطوة 1.4.4

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} (2 x + 0))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

خطوة 1.4.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.5.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} (2 x))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

خطوة 1.4.5.2

انقُل $2$ إلى يسار ${(x^{2} - 6)}^{4}$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} (2 \cdot {(x^{2} - 6)}^{4} x)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

خطوة 1.4.5.3

اضرب $2$ في $- 5$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} x)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

خطوة 1.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 (x^{1} x^{4}) {(x^{2} - 6)}^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

خطوة 1.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 x^{1 + 4} {(x^{2} - 6)}^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

خطوة 1.7

أضف $1$ و $4$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 x^{5} {(x^{2} - 6)}^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

خطوة 1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1.1

أخرِج العامل $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3}$ من $4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 x^{5} {(x^{2} - 6)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1.1.1

أخرِج العامل $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3}$ من $4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 (x^{2} - 6)) - 10 x^{5} {(x^{2} - 6)}^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

خطوة 1.8.1.1.2

أخرِج العامل $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3}$ من $- 10 x^{5} {(x^{2} - 6)}^{4}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 (x^{2} - 6)) + 2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- 5 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

خطوة 1.8.1.1.3

أخرِج العامل $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3}$ من $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 (x^{2} - 6)) + 2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- 5 x^{2})$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 (x^{2} - 6) - 5 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

خطوة 1.8.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 x^{2} + 2 \cdot - 6 - 5 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

خطوة 1.8.1.3

اضرب $2$ في $- 6$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 x^{2} - 12 - 5 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

خطوة 1.8.1.4

اطرح $5 x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- 3 x^{2} - 12)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

خطوة 1.8.1.5

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x^{2} - 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1.5.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x^{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (3 (- x^{2}) - 12)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

خطوة 1.8.1.5.2

أخرِج العامل $3$ من $- 12$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (3 (- x^{2}) + 3 (- 4))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

خطوة 1.8.1.5.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (- x^{2}) + 3 (- 4)$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (3 (- x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} \cdot 3 (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

خطوة 1.8.1.6

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{6 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

خطوة 1.8.2

احذِف العامل المشترك لـ ${(x^{2} - 6)}^{4}$ و ${(x^{2} - 6)}^{10}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.2.1

أخرِج العامل ${(x^{2} - 6)}^{4}$ من $6 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- x^{2} - 4)$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{4} (6 x^{3} (- x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

خطوة 1.8.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.2.2.1

أخرِج العامل ${(x^{2} - 6)}^{4}$ من ${(x^{2} - 6)}^{10}$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{4} (6 x^{3} (- x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 6)}^{4} {(x^{2} - 6)}^{6}}$

خطوة 1.8.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{4} (6 x^{3} (- x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 6)}^{4} {(x^{2} - 6)}^{6}}$

خطوة 1.8.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{6 x^{3} (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

خطوة 1.8.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$\frac{6 x^{3} (- (x^{2}) - 4)}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

خطوة 1.8.4

أعِد كتابة $- 4$ بالصيغة $- 1 (4)$ .

$\frac{6 x^{3} (- (x^{2}) - 1 (4))}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

خطوة 1.8.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2}) - 1 (4)$ .

$\frac{6 x^{3} (- (x^{2} + 4))}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

خطوة 1.8.6

أعِد كتابة $- (x^{2} + 4)$ بالصيغة $- 1 (x^{2} + 4)$ .

$\frac{6 x^{3} (- 1 (x^{2} + 4))}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

خطوة 1.8.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{(6 x^{3}) (x^{2} + 4)}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

خطوة 1.9

احسِب قيمة المشتق في $x = - 2$ .

$- \frac{(6 {(- 2)}^{3}) ({(- 2)}^{2} + 4)}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

خطوة 1.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.10.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.10.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{6 {(- 2)}^{3} (4 + 4)}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

خطوة 1.10.1.2

أضف $4$ و $4$ .

$- \frac{6 {(- 2)}^{3} \cdot 8}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

خطوة 1.10.1.3

اضرب $8$ في $6$ .

$- \frac{48 {(- 2)}^{3}}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

خطوة 1.10.1.4

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$- \frac{48 \cdot - 8}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

خطوة 1.10.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.10.2.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{48 \cdot - 8}{{(4 - 6)}^{6}}$

خطوة 1.10.2.2

اطرح $6$ من $4$ .

$- \frac{48 \cdot - 8}{{(- 2)}^{6}}$

خطوة 1.10.2.3

ارفع $- 2$ إلى القوة $6$ .

$- \frac{48 \cdot - 8}{64}$

خطوة 1.10.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.10.3.1

اضرب $48$ في $- 8$ .

$- \frac{- 384}{64}$

خطوة 1.10.3.2

اقسِم $- 384$ على $64$ .

$- - 6$

خطوة 1.10.3.3

اضرب $- 1$ في $- 6$ .

$6$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $6$ ونقطة مُعطاة $(- 2, - \frac{1}{2})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{1}{2}) = 6 \cdot (x - (- 2))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y + \frac{1}{2} = 6 \cdot (x + 2)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $6 \cdot (x + 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y + \frac{1}{2} = 0 + 0 + 6 \cdot (x + 2)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y + \frac{1}{2} = 6 \cdot (x + 2)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y + \frac{1}{2} = 6 x + 6 \cdot 2$

خطوة 2.3.1.4

اضرب $6$ في $2$ .

$y + \frac{1}{2} = 6 x + 12$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اطرح $\frac{1}{2}$ من كلا المتعادلين.

$y = 6 x + 12 - \frac{1}{2}$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $12$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = 6 x + 12 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع $12$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = 6 x + \frac{12 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = 6 x + \frac{12 \cdot 2 - 1}{2}$

خطوة 2.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.1

اضرب $12$ في $2$ .

$y = 6 x + \frac{24 - 1}{2}$

خطوة 2.3.2.5.2

اطرح $1$ من $24$ .

$y = 6 x + \frac{23}{2}$

خطوة 3