حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{2} - x^{2} = 16$ ; $(2, 2 \sqrt{5})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = 2 \sqrt{5}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - x^{2}) = \frac{d}{d x} (16)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 y y' - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 y y' - (2 x)$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 y y' - 2 x$

خطوة 1.3

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $16$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 y y' - 2 x = 0$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أضف $2 x$ إلى كلا المتعادلين.

$2 y y' = 2 x$

خطوة 1.5.2

اقسِم كل حد في $2 y y' = 2 x$ على $2 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

اقسِم كل حد في $2 y y' = 2 x$ على $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{2 x}{2 y}$

خطوة 1.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{2 x}{2 y}$

خطوة 1.5.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y'}{y} = \frac{2 x}{2 y}$

خطوة 1.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y'}{y} = \frac{2 x}{2 y}$

خطوة 1.5.2.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{2 x}{2 y}$

خطوة 1.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 x}{2 y}$

خطوة 1.5.2.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{x}{y}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = 2 \sqrt{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$\frac{2}{y}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $2 \sqrt{5}$ في العبارة.

$\frac{2}{2 \sqrt{5}}$

خطوة 1.7.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2 \sqrt{5}}$

خطوة 1.7.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\sqrt{5}}$

خطوة 1.7.4

اضرب $\frac{1}{\sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

خطوة 1.7.5

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

خطوة 1.7.5.2

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

خطوة 1.7.5.3

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

خطوة 1.7.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

خطوة 1.7.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

خطوة 1.7.5.6

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{2}$ بالصيغة $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 1.7.5.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 1.7.5.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 1.7.5.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 1.7.5.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

خطوة 1.7.5.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ونقطة مُعطاة $(2, 2 \sqrt{5})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2 \sqrt{5}) = \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot (x - (2))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 2 \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot (x - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 2 \sqrt{5} = 0 + 0 + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 2 \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5}}{5} x + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.2.2

اجمع $\frac{\sqrt{5}}{5}$ و $x$ .

$y - 2 \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5} x}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.2.3

اجمع $\frac{\sqrt{5}}{5}$ و $- 2$ .

$y - 2 \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5} x}{5} + \frac{\sqrt{5} \cdot - 2}{5}$

خطوة 2.3.1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1

انقُل $- 2$ إلى يسار $\sqrt{5}$ .

$y - 2 \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5} x}{5} + \frac{- 2 \sqrt{5}}{5}$

خطوة 2.3.1.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - 2 \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5} x}{5} - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $2 \sqrt{5}$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{\sqrt{5} x}{5} - \frac{2 \sqrt{5}}{5} + 2 \sqrt{5}$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $2 \sqrt{5}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{\sqrt{5} x}{5} - \frac{2 \sqrt{5}}{5} + 2 \sqrt{5} \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع $2 \sqrt{5}$ و $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{\sqrt{5} x}{5} - \frac{2 \sqrt{5}}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \cdot 5}{5}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\sqrt{5} x}{5} + \frac{- 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} \cdot 5}{5}$

خطوة 2.3.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\sqrt{5} x - 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} \cdot 5}{5}$

خطوة 2.3.2.6

اضرب $5$ في $2$ .

$y = \frac{\sqrt{5} x - 2 \sqrt{5} + 10 \sqrt{5}}{5}$

خطوة 2.3.2.7

أضف $- 2 \sqrt{5}$ و $10 \sqrt{5}$ .

$y = \frac{\sqrt{5} x + 8 \sqrt{5}}{5}$

خطوة 2.3.2.8

قسّم الكسر $\frac{\sqrt{5} x + 8 \sqrt{5}}{5}$ إلى كسرين.

$y = \frac{\sqrt{5} x}{5} + \frac{8 \sqrt{5}}{5}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{\sqrt{5}}{5} x + \frac{8 \sqrt{5}}{5}$

خطوة 3