حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$6 x y + π \sin (y) = 62 π$ , $(3, \frac{7 π}{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 3$ و $y = \frac{7 π}{2}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (6 x y + π \sin (y)) = \frac{d}{d x} (62 π)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x y + π \sin (y)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

خطوة 1.2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

خطوة 1.2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

خطوة 1.2.2.5

اضرب $y$ في $1$ .

$6 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [π \sin (y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $π \sin (y)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $π \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$6 (x y' + y) + π \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$6 (x y' + y) + π (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.2.3.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$6 (x y' + y) + π (\cos (u) \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$6 (x y' + y) + π (\cos (y) \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$6 (x y' + y) + π \cos (y) y'$

خطوة 1.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$6 (x y') + 6 y + π \cos (y) y'$

خطوة 1.2.4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y$

خطوة 1.3

بما أن $62 π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $62 π$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y = 0$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y$ .

$6 x y' + π y' \cos (y) + 6 y = 0$

خطوة 1.5.2

اطرح $6 y$ من كلا المتعادلين.

$6 x y' + π y' \cos (y) = - 6 y$

خطوة 1.5.3

أخرِج العامل $y'$ من $6 x y' + π y' \cos (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $6 x y'$ .

$y' (6 x) + π y' \cos (y) = - 6 y$

خطوة 1.5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $π y' \cos (y)$ .

$y' (6 x) + y' (π \cos (y)) = - 6 y$

خطوة 1.5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (6 x) + y' (π \cos (y))$ .

$y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$

خطوة 1.5.4

اقسِم كل حد في $y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$ على $6 x + π \cos (y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

اقسِم كل حد في $y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$ على $6 x + π \cos (y)$ .

$\frac{y' (6 x + π \cos (y))}{6 x + π \cos (y)} = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

خطوة 1.5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6 x + π \cos (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (6 x + π \cos (y))}{6 x + π \cos (y)} = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

خطوة 1.5.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

خطوة 1.5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{6 y}{6 x + π \cos (y)}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 y}{6 x + π \cos (y)}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 3$ و $y = \frac{7 π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$- \frac{6 y}{6 (3) + π \cos (y)}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $\frac{7 π}{2}$ في العبارة.

$- \frac{6 (\frac{7 π}{2})}{6 (3) + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

خطوة 1.7.3

اجمع $6$ و $\frac{7 π}{2}$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{6 (3) + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

خطوة 1.7.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

اضرب $6$ في $3$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{18 + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

خطوة 1.7.4.2

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{18 + π \cos (\frac{3 π}{2})}$

خطوة 1.7.4.3

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{18 + π \cos (\frac{π}{2})}$

خطوة 1.7.4.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{18 + π \cdot 0}$

خطوة 1.7.4.5

اضرب $π$ في $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{18 + 0}$

خطوة 1.7.4.6

أضف $18$ و $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{18}$

خطوة 1.7.5

اضرب $6$ في $7$ .

$- \frac{\frac{42 π}{2}}{18}$

خطوة 1.7.6

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.6.1

اختزِل العبارة $\frac{42 π}{2}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.6.1.1

أخرِج العامل $2$ من $42 π$ .

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2}}{18}$

خطوة 1.7.6.1.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2 (1)}}{18}$

خطوة 1.7.6.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2 \cdot 1}}{18}$

خطوة 1.7.6.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{\frac{21 π}{1}}{18}$

خطوة 1.7.6.2

اقسِم $21 π$ على $1$ .

$- \frac{21 π}{18}$

خطوة 1.7.7

احذِف العامل المشترك لـ $21$ و $18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.7.1

أخرِج العامل $3$ من $21 π$ .

$- \frac{3 (7 π)}{18}$

خطوة 1.7.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.7.2.1

أخرِج العامل $3$ من $18$ .

$- \frac{3 (7 π)}{3 (6)}$

خطوة 1.7.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{3 (7 π)}{3 \cdot 6}$

خطوة 1.7.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{7 π}{6}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- \frac{7 π}{6}$ ونقطة مُعطاة $(3, \frac{7 π}{2})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{7 π}{2}) = - \frac{7 π}{6} \cdot (x - (3))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{7 π}{6} \cdot (x - 3)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- \frac{7 π}{6} \cdot (x - 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - \frac{7 π}{2} = 0 + 0 - \frac{7 π}{6} \cdot (x - 3)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{7 π}{6} x - \frac{7 π}{6} \cdot - 3$

خطوة 2.3.1.2.2

اجمع $x$ و $\frac{7 π}{6}$ .

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} - \frac{7 π}{6} \cdot - 3$

خطوة 2.3.1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{7 π}{6}$ إلى بسط الكسر.

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{- 7 π}{6} \cdot - 3$

خطوة 2.3.1.2.3.2

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{- 7 π}{3 (2)} \cdot - 3$

خطوة 2.3.1.2.3.3

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{- 7 π}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.2.3.4

ألغِ العامل المشترك.

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{- 7 π}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.2.3.5

أعِد كتابة العبارة.

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{- 7 π}{2} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.2.4

اجمع $\frac{- 7 π}{2}$ و $- 1$ .

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{- 7 π \cdot - 1}{2}$

خطوة 2.3.1.2.5

اضرب $- 1$ في $- 7$ .

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{7 π}{2}$

خطوة 2.3.1.3

انقُل $7$ إلى يسار $x$ .

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{7 x π}{6} + \frac{7 π}{2}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $\frac{7 π}{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - \frac{7 x π}{6} + \frac{7 π}{2} + \frac{7 π}{2}$

خطوة 2.3.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{- 7 x π}{6} + \frac{7 π + 7 π}{2}$

خطوة 2.3.2.3

أضف $7 π$ و $7 π$ .

$y = \frac{- 7 x π}{6} + \frac{14 π}{2}$

خطوة 2.3.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.4.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{7 x π}{6} + \frac{14 π}{2}$

خطوة 2.3.2.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $14$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $14 π$ .

$y = - \frac{7 x π}{6} + \frac{2 (7 π)}{2}$

خطوة 2.3.2.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.4.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$y = - \frac{7 x π}{6} + \frac{2 (7 π)}{2 (1)}$

خطوة 2.3.2.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = - \frac{7 x π}{6} + \frac{2 (7 π)}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.2.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = - \frac{7 x π}{6} + \frac{7 π}{1}$

خطوة 2.3.2.4.2.2.4

اقسِم $7 π$ على $1$ .

$y = - \frac{7 x π}{6} + 7 π$

خطوة 2.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

انقُل $x$ .

$y = - \frac{7 π x}{6} + 7 π$

خطوة 2.3.3.2

أعِد ترتيب الحدود.

$y = - (\frac{7 π}{6} x) + 7 π$

خطوة 2.3.3.3

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{7 π}{6} x + 7 π$

خطوة 3