حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{3}{{(x^{2} - 3 x)}^{2}}$ , $(4, \frac{3}{16})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 4$ و $y = \frac{3}{16}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3}{{(x^{2} - 3 x)}^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - 3 x)}^{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - 3 x)}^{2}}]$

خطوة 1.1.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(x^{2} - 3 x)}^{2}}$ بالصيغة ${({(x^{2} - 3 x)}^{2})}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{({(x^{2} - 3 x)}^{2})}^{- 1}]$

خطوة 1.1.2.2

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} - 3 x)}^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x)}^{2 \cdot - 1}]$

خطوة 1.1.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x)}^{- 2}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 2}$ و $g (x) = x^{2} - 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} - 3 x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 2$ .

$3 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 3 x$ .

$3 (- 2 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $- 2$ في $3$ .

$- 6 ({(x^{2} - 3 x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 3 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$- 6 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 6 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

خطوة 1.3.4

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 6 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} (2 x - 3 \cdot 1)$

خطوة 1.3.6

اضرب $- 3$ في $1$ .

$- 6 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} (2 x - 3)$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}} (2 x - 3)$

خطوة 1.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

اجمع $- 6$ و $\frac{1}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}}$ .

$\frac{- 6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}} (2 x - 3)$

خطوة 1.4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}} (2 x - 3)$

خطوة 1.4.3

أعِد ترتيب عوامل $- \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}} (2 x - 3)$ .

$- (2 x - 3) \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}}$

خطوة 1.4.4

طبّق خاصية التوزيع.

$(- (2 x) - - 3) \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}}$

خطوة 1.4.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$(- 2 x - - 3) \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}}$

خطوة 1.4.6

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$(- 2 x + 3) \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}}$

خطوة 1.4.7

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.7.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} - 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.7.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$(- 2 x + 3) \frac{6}{{(x \cdot x - 3 x)}^{3}}$

خطوة 1.4.7.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- 3 x$ .

$(- 2 x + 3) \frac{6}{{(x \cdot x + x \cdot - 3)}^{3}}$

خطوة 1.4.7.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$(- 2 x + 3) \frac{6}{{(x (x - 3))}^{3}}$

خطوة 1.4.7.2

طبّق قاعدة الضرب على $x (x - 3)$ .

$(- 2 x + 3) \frac{6}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

خطوة 1.4.8

اضرب $- 2 x + 3$ في $\frac{6}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$ .

$\frac{(- 2 x + 3) \cdot 6}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

خطوة 1.4.9

انقُل $6$ إلى يسار $- 2 x + 3$ .

$\frac{6 \cdot (- 2 x + 3)}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

خطوة 1.4.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x$ .

$\frac{6 (- (2 x) + 3)}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

خطوة 1.4.11

أعِد كتابة $3$ بالصيغة $- 1 (- 3)$ .

$\frac{6 (- (2 x) - 1 (- 3))}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

خطوة 1.4.12

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x) - 1 (- 3)$ .

$\frac{6 (- (2 x - 3))}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

خطوة 1.4.13

أعِد كتابة $- (2 x - 3)$ بالصيغة $- 1 (2 x - 3)$ .

$\frac{6 (- 1 (2 x - 3))}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

خطوة 1.4.14

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{6 (2 x - 3)}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

خطوة 1.5

احسِب قيمة المشتق في $x = 4$ .

$- \frac{6 (2 (4) - 3)}{{(4)}^{3} {((4) - 3)}^{3}}$

خطوة 1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.1

اضرب $2$ في $4$ .

$- \frac{6 (8 - 3)}{4^{3} {(4 - 3)}^{3}}$

خطوة 1.6.1.2

اطرح $3$ من $8$ .

$- \frac{6 \cdot 5}{4^{3} {(4 - 3)}^{3}}$

خطوة 1.6.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.1

اطرح $3$ من $4$ .

$- \frac{6 \cdot 5}{4^{3} \cdot 1^{3}}$

خطوة 1.6.2.2

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$- \frac{6 \cdot 5}{64 \cdot 1^{3}}$

خطوة 1.6.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- \frac{6 \cdot 5}{64 \cdot 1}$

خطوة 1.6.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.1

اضرب $6$ في $5$ .

$- \frac{30}{64 \cdot 1}$

خطوة 1.6.3.2

اضرب $64$ في $1$ .

$- \frac{30}{64}$

خطوة 1.6.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $30$ و $64$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $30$ .

$- \frac{2 (15)}{64}$

خطوة 1.6.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $64$ .

$- \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 32}$

خطوة 1.6.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 32}$

خطوة 1.6.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{15}{32}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- \frac{15}{32}$ ونقطة مُعطاة $(4, \frac{3}{16})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{3}{16}) = - \frac{15}{32} \cdot (x - (4))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - \frac{3}{16} = - \frac{15}{32} \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- \frac{15}{32} \cdot (x - 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - \frac{3}{16} = 0 + 0 - \frac{15}{32} \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y - \frac{3}{16} = - \frac{15}{32} x - \frac{15}{32} \cdot - 4$

خطوة 2.3.1.2.2

اجمع $x$ و $\frac{15}{32}$ .

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} - \frac{15}{32} \cdot - 4$

خطوة 2.3.1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{15}{32}$ إلى بسط الكسر.

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15}{32} \cdot - 4$

خطوة 2.3.1.2.3.2

أخرِج العامل $4$ من $32$ .

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15}{4 (8)} \cdot - 4$

خطوة 2.3.1.2.3.3

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15}{4 \cdot 8} \cdot (4 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.2.3.4

ألغِ العامل المشترك.

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15}{4 \cdot 8} \cdot (4 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.2.3.5

أعِد كتابة العبارة.

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15}{8} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.2.4

اجمع $\frac{- 15}{8}$ و $- 1$ .

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15 \cdot - 1}{8}$

خطوة 2.3.1.2.5

اضرب $- 15$ في $- 1$ .

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{15}{8}$

خطوة 2.3.1.3

انقُل $15$ إلى يسار $x$ .

$y - \frac{3}{16} = - \frac{15 x}{32} + \frac{15}{8}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $\frac{3}{16}$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{15}{8} + \frac{3}{16}$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $\frac{15}{8}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{15}{8} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{16}$

خطوة 2.3.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $16$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.1

اضرب $\frac{15}{8}$ في $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{15 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{3}{16}$

خطوة 2.3.2.3.2

اضرب $8$ في $2$ .

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{15 \cdot 2}{16} + \frac{3}{16}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{15 \cdot 2 + 3}{16}$

خطوة 2.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.1

اضرب $15$ في $2$ .

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{30 + 3}{16}$

خطوة 2.3.2.5.2

أضف $30$ و $3$ .

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{33}{16}$

خطوة 2.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$y = - (\frac{15}{32} x) + \frac{33}{16}$

خطوة 2.3.3.2

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{15}{32} x + \frac{33}{16}$

خطوة 3