حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{1 + \cos (x)}$

خطوة 1

اكتب $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{1}{1 + \cos (x)}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{1}{1 + \cos (x)} d x$

خطوة 4

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل $\cos (x)$ إلى $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{1}{1 + \cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

خطوة 5

استخدِم متطابقة فيثاغورس لتحويل $1$ إلى $\sin^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{1}{\sin^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اطرح ${\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ من ${\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{\cos (\frac{x}{2})}^{2} + {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + 0} d x$

خطوة 6.2

أضف ${\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ و ${\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + 0} d x$

خطوة 6.3

أضف $2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ و $0$ .

$\int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2})} d x$

خطوة 7

اضرب المتغير المستقل في $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})}$

$\int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

خطوة 8

اجمع.

$\int \frac{1 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

خطوة 9

اضرب ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ في $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

خطوة 10

أعِد كتابة $\sec (\frac{x}{2})$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2}} d x$

خطوة 11

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

خطوة 11.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

أخرِج العامل $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ من $2 \cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

خطوة 11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

خطوة 11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cdot 1^{2}} d x$

خطوة 11.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cdot 1} d x$

خطوة 11.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2} d x$

خطوة 12

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{x}{2}) d x$

خطوة 13

لنفترض أن $u = \frac{x}{2}$ . إذن $d u = \frac{1}{2} d x$ ، لذا $2 d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

افترض أن $u = \frac{x}{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

خطوة 13.1.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 13.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 13.1.4

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 13.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

خطوة 14.2

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) \cdot 2 d u$

خطوة 14.3

انقُل $2$ إلى يسار $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{2} \int 2 \sec^{2} (u) d u$

خطوة 15

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (2 \int \sec^{2} (u) d u)$

خطوة 16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

خطوة 16.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

خطوة 16.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 \int \sec^{2} (u) d u$

خطوة 16.3

اضرب $\int \sec^{2} (u) d u$ في $1$ .

$\int \sec^{2} (u) d u$

خطوة 17

بما أن مشتق $\tan (u)$ هو $\sec^{2} (u)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (u)$ هو $\tan (u)$ .

$\tan (u) + C$

خطوة 18

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{2}$ .

$\tan (\frac{x}{2}) + C$

خطوة 19

أعِد ترتيب الحدود.

$\tan (\frac{1}{2} x) + C$

خطوة 20

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{1}{1 + \cos (x)}$ .

$F (x) =$ $\tan (\frac{1}{2} x) + C$